Question

如图，四棱锥P-ABCD中，侧面是边长为2的正三角形，且与底面ABCD垂直，底面ABCD是面积为的菱形，∠ADC为锐角，M为PB的中点．
（Ⅰ）求证：PA⊥CD；
（Ⅱ）求PD与平面CDM所成的角的大小．

Answer 1

（Ⅰ）证明：过P作PE⊥CD于E，连接AE，则E是DC的中点
∵侧面PDC⊥底面ABCD，PE?侧面PDC
∴PE⊥底面ABCD
∵底面ABCD是面积为的菱形，边长为2
∴2×AD•DCsin∠ADE=2
∴sin∠ADC=
∵∠ADC是锐角，∴∠ADC=
∴△ADC是边长为2的等边三角形
∵E为DC的中点，∴AE⊥CD
∴PA⊥CD
（Ⅱ）解：设PD与平面CDM所成的角为θ，取PA的中点为N，连接MN、DN
∵M为PB的中点，∴MN∥AB，
∵DC∥AB，∴MN∥DC，
∵PD=AD，N为PA的中点，∴PN⊥DN，
∵PA⊥CD，CD∩DN=D
∴PN⊥平面DCMN
∴线段PN的长就是P到平面DCM的距离，
在等腰直角三角形PEA中，AE=PE=，PA=，∴PN=PA=
∴P到平面DCM的距离是，∴，
故PD与平面CDM所成的角为．
分析：（Ⅰ）过P作PE⊥CD于E连接AE，根据线面所成角的定义可知∠PBE为侧棱PB与底面ABCD所成的角，求出PE与BE，在△BCE中，求出∠BCE，从而得到△ADC是边长为2的等边三角形，则AE⊥CD，根据三垂线定理可知PA⊥CD；
（Ⅱ）取PA的中点为N，连接MN、DN，证明线段PN的长就是P到平面DCM的距离，即可求得结论．
点评：本题考查面面垂直，考查线面角，考查学生分析解决问题的能力，正确作出线面角是关键．