Question

数列{a_n}的首项a₁=1，前n项和为S_n，满足关系3tS_n-（2t+3）S_n-1=3t（t＞0，n=2，3，4…）．
（I）设数列{a_n}的公比为f（t），作数列{b_n}，使b₁=1，bn=f(

1

bn-1

)（n=2，3，4…）．求b_n；
（II）求T_n=（b₁b₂-b₂b₃）+（b₃b₄-b₄b₅）+…+（b_2n-1b_2n-b_2nb_2n+1）的值．

Answer 1

分析：（1）由3tS_n-（2t+3）S_n-1=3t，可得3ts_n+1-（2t+3）S_n =3t （n≥2），两式相减得3ta_n+1-（2t+3）a_n =0．化简变形可得

an+1

an

=

2t+3

3t

（n≥1），故数列{a_n}为等比数列，
从而证得数列{b_n}是以 b₁=1为首项，以d=

2

3

为公差的等差数列，从而求得 b_n=

2

3

n+

1

3

．
（2）化简 T_n 为  b₂（b₁-b₃）+b₄（b₃-b₅）+…+b_2n（b_2n-1-b_2n+1）=2d （b₂+b₄+…+b_2n）=2×

2

3

[n•

5

3

+

n(n-1)

2

• 

4

3

]，运算求得结果．

解答：解：（1）证明：∵3tS_n-（2t+3）S_n-1=3t，∴3ts_n+1-（2t+3）S_n =3t （n≥2），两式相减得3ta_n+1-（2t+3）a_n =0．
又t＞0，∴

an+1

an

=

2t+3

3t

 （n≥2），又当n=2时，3ts₂-（2t+3）s₁=3t，
即3t （a₁+a₂）-（2t+3）a₁=3t，得 a₂=

2t+3

3t

，即

a2

a1

=

2t+3

3t

，∴

an+1

an

=

2t+3

3t

（n≥1），∴数列{a_n}为等比数列．
由已知得f（n）=

2t+3

3t

，∴bn=f(

1

bn-1

)=

2 bn-1 +3

3 bn-1

=b_n-1+

2

3

 （n≥2）．
∴数列{b_n}是以 b₁=1为首项，以d=

2

3

为公差的等差数列，故 b_n=

2

3

n+

1

3

．
（2）T_n=（b₁b₂-b₂b₃）+（b₃b₄-b₄b₅）+…+（b_2n-1b_2n-b_2nb_2n+1）=b₂（b₁-b₃）+b₄（b₃-b₅）+…+b_2n（b_2n-1-b_2n+1）
=2d （b₂+b₄+…+b_2n）=2×

2

3

[n•

5

3

+

n(n-1)

2

• 

4

3

]=-

8

9

n2-

4n

3

．

点评：本题主要考查利用数列的递推关系求数列的通项公式，等差关系、等比关系的确定，等差数列的前n项和公式的应用，属于难题．