Question

7．已知点A（1，-$\sqrt{3}$），B（-2，2$\sqrt{3}$）．
（1）求方向与AB一致的单位向量；
（2）设向量$\overrightarrow{AC}$与向量$\overrightarrow{AB}$的夹角为60°，且|$\overrightarrow{AC}$|=2，求点C的坐标．

Answer 1

分析 （1）利用方向与$\overrightarrow{AB}$一致的单位向量$\frac{\overrightarrow{AB}}{|\overrightarrow{AB|}}$，即可得出，
（2）设C的坐标为（x，y），根据向量的数量积和向量的模，构造方程组，解得即可．

解答 解：（1）A（1，-$\sqrt{3}$），B（-2，2$\sqrt{3}$），
∴$\overrightarrow{AB}$=（-3，3$\sqrt{3}$），
∴|$\overrightarrow{AB}$|=$\sqrt{（-3）^{2}+（3\sqrt{3}）^{2}}$=6，
∴方向与$\overrightarrow{AB}$一致的单位向量$\frac{\overrightarrow{AB}}{|\overrightarrow{AB|}}$=（-$\frac{1}{2}$，$\frac{\sqrt{3}}{2}$），
（2）设C的坐标为（x，y），
∴$\overrightarrow{AC}$=（x-1，y+$\sqrt{3}$），
∴（x-1）²+（y+$\sqrt{3}$）²=4①
∵向量$\overrightarrow{AC}$与向量$\overrightarrow{AB}$的夹角为60，
∴cos60=$\frac{\overrightarrow{AC}•\overrightarrow{AB}}{|\overrightarrow{AC}||\overrightarrow{AB}|}$=$\frac{-3x+3+3\sqrt{3}y+9}{6×2}$=$\frac{1}{2}$，
∴-x+$\sqrt{3}$y+2=0，②，
由①②构成方程组，解得$\left\{\begin{array}{l}{x=2}\\{y=0}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{x=-1}\\{y=-\sqrt{3}}\end{array}\right.$，
∴点C的坐标为（2，0），或（-1，-$\sqrt{3}$）．

点评 本题考查了向量是运算、单位向量，向量的数量积公式，以及利用数量积求两个向量的夹角问题，属于基础题．