Question

16．已知向量$\overrightarrow{a}$=（$\sqrt{3}，\sqrt{5}$），|$\overrightarrow{b}$|=2，求满足下列条件的$\overrightarrow{b}$的坐标．
（1）$\overrightarrow{a}$⊥$\overrightarrow{b}$（2）$\overrightarrow{a}$∥$\overrightarrow{b}$．

Answer 1

分析 （1）设出向量$\overrightarrow{b}$的坐标，由|$\overrightarrow{b}$|=2以及$\overrightarrow{a}$⊥$\overrightarrow{b}$，列出方程组求出$\overrightarrow{b}$的坐标；
（2）由|$\overrightarrow{b}$|=2和$\overrightarrow{a}$∥$\overrightarrow{b}$，列出方程组求出$\overrightarrow{b}$的坐标即可．

解答 解：设$\overrightarrow{b}$=（x，y），
∵|$\overrightarrow{b}$|=2，∴x²+y²=4①；
又向量$\overrightarrow{a}$=（$\sqrt{3}，\sqrt{5}$），
（1）当$\overrightarrow{a}$⊥$\overrightarrow{b}$时，
$\sqrt{3}$x+$\sqrt{5}$y=0②；
由①、②组成方程组，
解得$\left\{\begin{array}{l}{x=-\frac{\sqrt{10}}{2}}\\{y=\frac{\sqrt{6}}{2}}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{x=\frac{\sqrt{10}}{2}}\\{y=-\frac{\sqrt{6}}{2}}\end{array}\right.$；
∴$\overrightarrow{b}$=（-$\frac{\sqrt{10}}{2}$，$\frac{\sqrt{6}}{2}$）或$\overrightarrow{b}$=（$\frac{\sqrt{10}}{2}$，-$\frac{\sqrt{6}}{2}$）；
（2）当$\overrightarrow{a}$∥$\overrightarrow{b}$时，
$\sqrt{3}$y-$\sqrt{5}$x=0③；
由①、③组成方程组，
解得$\left\{\begin{array}{l}{x=\frac{\sqrt{6}}{2}}\\{y=\frac{\sqrt{10}}{2}}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{x=-\frac{\sqrt{6}}{2}}\\{y=-\frac{\sqrt{10}}{2}}\end{array}\right.$；
∴$\overrightarrow{b}$=（$\frac{\sqrt{6}}{2}$，$\frac{\sqrt{10}}{2}$）或$\overrightarrow{b}$=（-$\frac{\sqrt{6}}{2}$，-$\frac{\sqrt{10}}{2}$）．

点评 本题考查了平面向量的模长与平行和垂直的坐标表示问题，也考查了方程组的解法与应用问题，是基础题．