Question

17．设函数f（x）的导函数为f′（x），若对任意x∈R，都有f′（x）＞f（x）成立，则（　　）

• A． f（ln2015）＜2015f（0）
• B． f（ln2015）=2015f（0）
• C． f（ln2015）＞2015f（0）
• D． f（ln2015）与2015f（0）的大小关系不确定

Answer 1

分析 构造函数g（x）=$\frac{f（x）}{{e}^{x}}$，利用导数可判断g（x）的单调性，由单调性可得g（ln2015）与g（0）的大小关系，整理即可得到答案．

解答 解：令g（x）=$\frac{f（x）}{{e}^{x}}$，则g′（x）=$\frac{f′（x）-f（x）}{{e}^{x}}$，
因为对任意x∈R都有f′（x）＞f（x），
所以g′（x）＞0，即g（x）在R上单调递增，
又ln2015＞0，所以g（ln2015）＞g（0），即$\frac{f（ln2015）}{{e}^{ln2015}}$＞$\frac{f（0）}{{e}^{0}}$，
所以 f（ln2015）＞2015f（0），
故选：C．

点评 本题考查导数的运算及利用导数研究函数的单调性，解决本题的关键是根据选项及已知条件合理构造函数，利用导数判断函数的单调性，属中档题．