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17.设函数f(x)的导函数为f′(x),若对任意x∈R,都有f′(x)>f(x)成立,则(  )
A.f(ln2015)<2015f(0)
B.f(ln2015)=2015f(0)
C.f(ln2015)>2015f(0)
D.f(ln2015)与2015f(0)的大小关系不确定

分析 构造函数g(x)=$\frac{f(x)}{{e}^{x}}$,利用导数可判断g(x)的单调性,由单调性可得g(ln2015)与g(0)的大小关系,整理即可得到答案.

解答 解:令g(x)=$\frac{f(x)}{{e}^{x}}$,则g′(x)=$\frac{f′(x)-f(x)}{{e}^{x}}$,
因为对任意x∈R都有f′(x)>f(x),
所以g′(x)>0,即g(x)在R上单调递增,
又ln2015>0,所以g(ln2015)>g(0),即$\frac{f(ln2015)}{{e}^{ln2015}}$>$\frac{f(0)}{{e}^{0}}$,
所以 f(ln2015)>2015f(0),
故选:C.

点评 本题考查导数的运算及利用导数研究函数的单调性,解决本题的关键是根据选项及已知条件合理构造函数,利用导数判断函数的单调性,属中档题.

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