Question

4．在一圆上任取3点，这三点为顶点的三角形为钝角三角形的概率是（　　）

• A． $\frac{1}{4}$
• B． $\frac{1}{2}$
• C． $\frac{3}{4}$
• D． 以上都不对

Answer 1

分析 根据题意，将圆周按逆时针方向依次标记三点为A、B、C，设出弧AB、弧BC与弧CA的长度，得到所有可能的结果构成的平面区域与“三点组成锐角三角形”构成的平面区域，分别算出两个区域的面积再利用几何概型公式加以计算，可得能构成锐角或直角三角形的概率，即可得出结论．

解答 解：如图①，设半径为1，按逆时针方向依次标记三点为A、B、C，设弧AB=x，弧BC=y，弧CA=2π-x-y．

依题意，所有可能的结果构成平面区域为：Ω={（x，y）|0＜x＜2π，0＜y＜2π，0＜2π-x-y＜2π}．
事件A=“三点组成锐角或直角三角形”构成的平面区域为：A={（x，y）∈Ω|0＜x≤π，0＜y＜π，0＜2π-x-y＜π}．
分别作出Ω与A中不等式组对应的平面区域，得到两个三角形及其内部区域，如图②所示
∵平面区域Ω的面积为2π²，平面区域A的面积为$\frac{1}{2}×π×π$=$\frac{1}{2}{π}^{2}$，
∴故所求概率为P（A）=$\frac{1}{4}$．
∴在一圆上任取3点，这三点为顶点的三角形为钝角三角形的概率是1-$\frac{1}{4}$=$\frac{3}{4}$．
故选：C．

点评 本题给出圆周上的任意三点，求此三点能构成钝角三角形的概率，着重考查了圆内接三角形、二元一次不等式组表示的平面区域和几何概型计算公式等知识，属于中档题．