Question

4．在平面直角坐标系xOy中，圆C的方程为x²+y²-8x+15=0，若直线y=kx-2上至少存在一点，使得以该点为圆心，1为半径的圆与圆C有公共点，则k的最大值是（　　）

• A． $\frac{2}{3}$
• B． $\frac{4}{3}$
• C． 2
• D． 3

Answer 1

分析 由于圆C的方程为（x-4）²+y²=1，由题意可知，只需（x-4）²+y²=1与直线y=kx-2有公共点即可．

解答 解：∵圆C的方程为x²+y²-8x+15=0，整理得：（x-4）²+y²=1，即圆C是以（4，0）为圆心，1为半径的圆；
又直线y=kx-2上至少存在一点，使得以该点为圆心，1为半径的圆与圆C有公共点，
∴只需圆C′：（x-4）²+y²=1与直线y=kx-2有公共点即可．
设圆心C（4，0）到直线y=kx-2的距离为d，
则d=$\frac{|4k-2|}{\sqrt{1+{k}^{2}}}$≤2，即3k²-4k≤0，
∴0≤k≤$\frac{4}{3}$
∴k的最大值是$\frac{4}{3}$．
故选B．

点评 本题考查直线与圆的位置关系，将条件转化为“（x-4）²+y²=4与直线y=kx-2有公共点”是关键，考查学生灵活解决问题的能力，属于中档题．