Question

已知二次函数f（x）=ax²+bx+c，满足f（0）=f（1）=0，且f（x）的最小值是-

1

4

．
（1）求f（x）的解析式；
（2）设直线l：y=t²-t（其中0＜t＜

1

2

，t为常数），若直线l与f（x）的图象以及y轴所围成封闭图形的面积是S₁（t），直线l与f（x）的图象所围成封闭图形的面积是S₂（t），设g（t）=S₁（t）+

1

2

S₂（t），当g（t）取最小值时，求t的值．

Answer 1

分析：（1）由“f（0）=f（1）=0”结合二次函数图象的对称性，设f（x）=a（x-

1

2

）²-

1

4

，再代点求解．
（2）要建立g（t）的模型，由于是曲线所围成的图象，所以用定积分求解，设直线l与f（x）的图象的交点坐标为
（t，t²-t），再由定积分的几何意义S₁（t）=∫₀^t[（x²-x）-（t²-t）]dx，

1

2

S₂（t）=

∫

1 2 t

[（t²-t）-（x²-x）]dx，再求和建立g（t）模型求其最值．

解答：解：（1）由二次函数图象的对称性，
可设f（x）=a（x-

1

2

）²-

1

4

，
又f（0）=0，∴a=1，故f（x）=x²-x．
（2）据题意，直线l与f（x）的图象的交点坐标为（t，t²-t），由定积分的几何意义知：
g（t）=S₁（t）+

1

2

S₂（t）
=∫₀^t[（x²-x）-（t²-t）]dx+

∫

t 1 2

[（t²-t）-（x²-x）]dx
=[（

x3

3

-

x2

2

）-（t²-t）x]|₀^t+[（t²-t）x-（

x3

3

-

x2

2

）]

|

t 1 2

=-

4

3

t³+

3

2

t²-

1

2

t+

1

12

．

而g′（t）=-4t²+3t-

1

2

=-

1

2

（8t²-6t+1）=-

1

2

（4t-1）（2t-1）．
令g′（t）=0?t=

1

4

或t=

1

2

（不合题意，舍去）．
当t∈（0，

1

4

）时，g′（t）＜0，g（t）递减；
当t∈（

1

4

，

1

2

）时，g′（t）＞0，g（t）递增；
故当t=

1

4

时，g（t）有最小值．

点评：本题主要考查二次函数解析式和其图象的应用，这里涉及了曲线所围成的面积，要用定积分解决．