Question

已知函数f（x）=ax+blnx（a、b∈R）在区间（0，2）上单调递减，（2，+∞）上单调递增，且f（x）的极小值为2-2ln2．
（1）求实数a、b的值；
（2）若函数g（x）=x²+mx-f（x）在定义域内是单调递增函数，求实数m的取值范围．

Answer 1

考点：利用导数研究函数的单调性

专题：综合题,导数的综合应用

分析：（1）由题意可得，f′（2）=0，f（2）=2-2ln2，从而可得a，b的方程组，解出即可；
（2）易求g（x），g（x）=x²+mx-f（x）在定义域内是单调递增函数，等价于g′（x）≥0在（0，+∞）上恒成立，分离参数m后转化为求函数最值，利用导数可求得最大值；

解答： 解：（1）f′（x）=a+

b

x

，
由题意知x=2为函数f（x）的极小值点，∴f′（2）=0，即a+

b

2

=0①，
又f（2）=2-2ln2，即2a+bln2=2-2ln2②，
联立①②解得a=1，b=-2；
（2）由（1）知f（x）=x-2lnx，
则g（x）=x²+mx-f（x）=g（x）=x²+（m-1）x+2lnx，
g′（x）=2x+m-1+

2

x

，
∵g（x）=x²+mx-f（x）在定义域内是单调递增函数，
∴g′（x）≥0在（0，+∞）上恒成立，即m≥-2x-

2

x

+1恒成立，
令y=-2x-

2

x

+1，则y′=-2+

2

x2

=

2(1+x)(1-x)

x2

，
当0＜x＜1时，y′＞0，y递增；当x＞1时，y′＜0，y递减．
所以y_max=-2-2+1=-3，
∴m≥-3．

点评：该题考查利用导数研究函数的单调性、极值，考查函数恒成立，考查转化思想，恒成立问题往往转化为求函数最值解决．