Question

12．设向量$\vec a=（1，\;x）$，$\vec b=（x，4）$，则$x=\int_0^{\sqrt{2}}{2tdt}$是$\vec a$∥$\vec b$的（　　）条件．

• A． 充分不必要
• B． 必要不充分
• C． 充要
• D． 即不充分也不必要

Answer 1

分析 根据积分先求出x，然后利用向量平行的等价条件，结合充分条件和必要条件的定义即可的结论．

解答 解：向量$\overrightarrow{a}$=（1，x），$\overrightarrow{b}$=（x，4），
若x=${∫}_{0}^{\sqrt{2}}$2tdt=t²${|}_{0}^{\sqrt{2}}$=2，
则此时$\overrightarrow{a}$=（1，2），$\overrightarrow{b}$=（2，4），满足$\overrightarrow{b}$=2$\overrightarrow{a}$，
∴$\overrightarrow{a}$∥$\overrightarrow{b}$．即充分性成立．
若$\overrightarrow{a}$∥$\overrightarrow{b}$，则$\frac{1}{x}$=$\frac{x}{4}$，解得x=±2．必要性不成立．
∴$x=\int_0^{\sqrt{2}}{2tdt}$是$\vec a$∥$\vec b$的充分不必要条件．
故选：A．

点评 本题主要考查充分条件和必要条件的判定，利用向量关系的坐标公式是解决本题的关键．