Question

18．如图，在△ABC中，AD为内角平分线，∠ADC=60°，点E在AD上，满足DE=DB，射线CE交AB于点F，求证：AF•AB+CD•CB=AC²．

Answer 1

分析 作∠ADG=∠ADC=60°，交AB于G，由三角形全等推导出∠BFC=∠ADC=60°，从而B、D、E、F四点共圆，在AC上取点H，使得CD•CB=CH•CA，则B、D、H、F四点共圆，从而得到D、C、H、E四点共圆，由此能证明AF•AB+CD•CB=AC²．

解答 证明：如图，作∠ADG=∠ADC=60°，交AB于G，则∠BDG=60°，
在△ADG和△ADC中，
∠DAG=∠DAC，AD=AD，∠ADG=∠ADC，
∴△ADG≌△ADC，∴DG=DC，
∵DE=DB，∠BDG=∠EDC=60°，
∴△BDG≌△DEC，∴∠BGD=∠DCE，∴∠BFC=∠ADC=60°，
∴∠B=∠DEC=∠FEA，
∴B、D、E、F四点共圆，∴AF•AB=AE•AD，
在AC上取点H，使得CD•CB=CH•CA，
则B、D、H、F四点共圆，
∴∠B=∠CHD，又∠B=∠DEC，∴∠DEC=∠CHD，
∴D、C、H、E四点共圆，
∴AE•AD=AH•AC，
∵CD•CB=CH•CA=CA•（CA-AH）=CA²-CA•AH，
∴AF•AB+CD•CB=AC²．

点评 本题考查AF•AB+CD•CB=AC²的证明，是中档题，解题时要认真审题，注意三角形全等和四点共圆的性质的合理运用．