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18.如图,在△ABC中,AD为内角平分线,∠ADC=60°,点E在AD上,满足DE=DB,射线CE交AB于点F,求证:AF•AB+CD•CB=AC2

分析 作∠ADG=∠ADC=60°,交AB于G,由三角形全等推导出∠BFC=∠ADC=60°,从而B、D、E、F四点共圆,在AC上取点H,使得CD•CB=CH•CA,则B、D、H、F四点共圆,从而得到D、C、H、E四点共圆,由此能证明AF•AB+CD•CB=AC2

解答 证明:如图,作∠ADG=∠ADC=60°,交AB于G,则∠BDG=60°,
在△ADG和△ADC中,
∠DAG=∠DAC,AD=AD,∠ADG=∠ADC,
∴△ADG≌△ADC,∴DG=DC,
∵DE=DB,∠BDG=∠EDC=60°,
∴△BDG≌△DEC,∴∠BGD=∠DCE,∴∠BFC=∠ADC=60°,
∴∠B=∠DEC=∠FEA,
∴B、D、E、F四点共圆,∴AF•AB=AE•AD,
在AC上取点H,使得CD•CB=CH•CA,
则B、D、H、F四点共圆,
∴∠B=∠CHD,又∠B=∠DEC,∴∠DEC=∠CHD,
∴D、C、H、E四点共圆,
∴AE•AD=AH•AC,
∵CD•CB=CH•CA=CA•(CA-AH)=CA2-CA•AH,
∴AF•AB+CD•CB=AC2

点评 本题考查AF•AB+CD•CB=AC2的证明,是中档题,解题时要认真审题,注意三角形全等和四点共圆的性质的合理运用.

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