Question

【题目】在直三棱柱中，，，点，分别为棱，的中点．

（1）求证：平面；

（2）求直线与平面所成角的正弦值．

Answer 1

【答案】（1）见解析下（2）

【解析】

（1）取的中点，连接，，证明，进而证得得解；（2）在平面内作交于点，以为原点，，、分别为，，轴，建立如图所示的空间直角坐标系．求得平面的法向量，利用线面角的向量公式求解

（1）取的中点，连接，，

则在中，，，

又点是的中点，

所以．

而且，

所以，

所以四边形是平行四边形，

所以，

又平面，平面，

所以平面．

（2）在平面内作交于点，

以为原点，，、分别为，，轴，建立如图所示的空间直角坐标系．

设，则，，，，，

所以，，．

设平面的一个法向量为，

则即

取，得，

设直线与平面所成角为，

则．

即直线与平面所成角的正弦值为．