Question

设f（x）定义在R₊上，对于任意a、b∈R₊，有f（ab）=f（a）+f（b）求证：
（1）f（1）=0；
（2）f（

1

x

）=-f（x）；
（3）若x∈（1，+∞）时，f（x）＜0，则f（x）在（1，+∞）上是减函数．

Answer 1

分析：（1）由题意令a=b=1代入f（ab）=f（a）+f（b），解得（1）=0；
（2）由题意令a=x∈R₊，b=

1

x

代入f（ab）=f（a）+f（b），再利用（1）的结论，即证出等式成立；
（3）利用定义法证明函数单调性，即取值-作差-变形-判断符号-下结论，再利用（2）的结论和题意进行变形以及判断符号．

解答：证明：（1）由题意知，任意a、b∈R₊，有f（ab）=f（a）+f（b），
令a=b=1代入上式得，f（1）=f（1）+f（1），
∴f（1）=2f（1），∴f（1）=0．

（2）令a=x∈R₊，b=

1

x

代入f（ab）=f（a）+f（b），
得f（1）=f（x）+f（

1

x

），
∵f（1）=0，∴f（x）=-f（

1

x

）．

（3）设x₁＞x₂＞1，由（2）得f（x₂）=-f（

1

x2

），
∴f（x₁）-f（x₂）=f（x₁）+f（

1

x2

）=f（

x1

x2

），
∵x₁＞x₂＞1，∴

x1

x2

＞1，
又∵x∈（1，+∞）时，f（x）＜0，∴f（

x1

x2

）＜0，
∴f（x₁）-f（x₂）＜0，即f（x₁）＜f（x₂），
∴f（x）在（1，+∞）上是减函数．

点评：本题考查了抽象函数的单调性，反复利用恒等式f（ab）=f（a）+f（b），即根据需要给a和b适当的值，并且前两问是第三问的基础，这需要特别注意的地方，考查逻辑推理能力．