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15.已知函数f(x)=lnx+tanα(0<α<$\frac{π}{2}$)的导函数为f'(x),若方程f'(x)=f(x)的根x0小于1,则α的取值范围为(  )
A.$(\frac{π}{4},\frac{π}{2})$B.$(0,\frac{π}{3})$C.$(\frac{π}{6},\frac{π}{4})$D.$(0,\frac{π}{4})$

分析 由于f′(x)=$\frac{1}{x}$,f′(x0)=$\frac{1}{{x}_{0}}$,f′(x0)=f(x0),可得$\frac{1}{{x}_{0}}$=ln x0+tan α,即tan α=$\frac{1}{{x}_{0}}$-ln x0,由0<x0<1,可得$\frac{1}{{x}_{0}}$-ln x0>1,即tan α>1,即可得出.

解答 解:∵f′(x)=$\frac{1}{x}$,f′(x0)=$\frac{1}{{x}_{0}}$,f′(x0)=f(x0),
∴$\frac{1}{{x}_{0}}$=ln x0+tan α,
∴tan α=$\frac{1}{{x}_{0}}$-ln x0
又∵0<x0<1,
∴可得$\frac{1}{{x}_{0}}$-ln x0>1,即tan α>1,
∴α∈($\frac{π}{4}$,$\frac{π}{2}$).
故选:A.

点评 本题考查了导数的运算法则、对数函数和正切函数的单调性,属于中档题.

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