Question

15．已知函数f（x）=lnx+tanα（0＜α＜$\frac{π}{2}$）的导函数为f'（x），若方程f'（x）=f（x）的根x₀小于1，则α的取值范围为（　　）

• A． $（\frac{π}{4}，\frac{π}{2}）$
• B． $（0，\frac{π}{3}）$
• C． $（\frac{π}{6}，\frac{π}{4}）$
• D． $（0，\frac{π}{4}）$

Answer 1

分析 由于f′（x）=$\frac{1}{x}$，f′（x₀）=$\frac{1}{{x}_{0}}$，f′（x₀）=f（x₀），可得$\frac{1}{{x}_{0}}$=ln x₀+tan α，即tan α=$\frac{1}{{x}_{0}}$-ln x₀，由0＜x₀＜1，可得$\frac{1}{{x}_{0}}$-ln x₀＞1，即tan α＞1，即可得出．

解答 解：∵f′（x）=$\frac{1}{x}$，f′（x₀）=$\frac{1}{{x}_{0}}$，f′（x₀）=f（x₀），
∴$\frac{1}{{x}_{0}}$=ln x₀+tan α，
∴tan α=$\frac{1}{{x}_{0}}$-ln x₀，
又∵0＜x₀＜1，
∴可得$\frac{1}{{x}_{0}}$-ln x₀＞1，即tan α＞1，
∴α∈（$\frac{π}{4}$，$\frac{π}{2}$）．
故选：A．

点评 本题考查了导数的运算法则、对数函数和正切函数的单调性，属于中档题．