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已知椭圆M:
x2
a2
+
y2
b2
=1(a>b>0)
经过点(-1,-
2
2
)
,(0,1).
(Ⅰ)求椭圆M的方程;
(Ⅱ)设椭圆M的左、右焦点分别为F1,F2,过点F2的直线交椭圆M于A,B两点,求△ABF1面积的最大值.
考点:直线与圆锥曲线的综合问题
专题:综合题,圆锥曲线的定义、性质与方程
分析:(Ⅰ)设出椭圆方程,代入点(-1,-
2
2
)
,即可求椭圆M的方程;
(Ⅱ)设直线AB的方程为:x=my+1,代入椭圆方程,利用韦达定理,表示出面积,利用配方法,即可得出结论.
解答: 解:(Ⅰ)由题意b=1,椭圆M的方程为
x2
a2
+y2=1(a>1)
.…(1分)
将点(-1,-
2
2
)
代入椭圆方程,得
1
a2
+
1
2
=1
,解得a2=2.
∴椭圆M的方程为
x2
2
+y2=1
.…(3分)
(Ⅱ)由题意可设直线AB的方程为:x=my+1.
x=my+1
x2+2y2=2
得(m2+2)y2+2my-1=0.
显然△=4m2+4(m2+2)>0.
设A(x1,y1),B(x2,y2),则
y1+y2=
-2m
m2+2
y1y2=
-1
m2+2
.
…(7分)
∵△ABF1的面积S=
1
2
|F1F2|(|y1|+|y2|)
,其中y1y2<0.
S=
1
2
|F1F2||y1-y2|

(y1-y2)2=(y1+y2)2-4y1y2=(
-2m
m2+2
)2-4(
-1
m2+2
)
=
8m2+8
(m2+2)2
,F1(-1,0),F2(1,0).…(9分)
S2=(y1-y2)2=8[
1
m2+2
-
1
(m2+2)2
]=-8(
1
m2+2
-
1
2
)2+2≤2

当m=0时,上式中等号成立.
即当m=0时,△ABF1的面积取到最大值
2
.…(11分)
点评:本题考查椭圆的标准方程,考查直线与椭圆的位置关系,考查韦达定理的运用,考查配方法,属于中档题.
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已知函数f(x)=4x2-kx-8在区间[5,10]上具有单调性,则实数k的取值范围是
 

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设等差数列{an}的前n项和为Sn,且a1=2,a3=6.
(1)求数列{an}的通项公式;
(2)设数列{
1
Sn
}
的前n项和为Tn,求T2013的值.

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如图,AB是的⊙O直径,CB与⊙O相切于B,E为线段CB上一点,连接AC、AE分别交⊙O于D、G两点,连接DG交CB于点F.
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(Ⅱ)若F为EB的三等分点且靠近E,EG=1,GA=3,求线段CE的长.

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(Ⅰ)求点M轨迹的直角坐标方程;
(Ⅱ)求证点M到点E(
3
2
,0)、F(3、0)的距离之比是常数.

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请设计算法框图,要求输入自变量x的值,输出函数f(x)=
-x+1,x≥0
x+3,x<0
的值.

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设F1,F2分别是椭圆D:
x2
a2
+
y2
b2
=1(a>b>0)的左、右焦点,过F2作倾斜角为
π
3
的直线交椭圆D于A,B两点,F1到直线AB的距离为3,连接椭圆D的四个顶点得到的菱形面积为4.
(Ⅰ)求椭圆D的方程;
(Ⅱ)已知点M(-1,0),设E是椭圆D上的一点,过E、M两点的直线l交y轴于点C,若
CE
EM
,求λ的取值范围;
(Ⅲ)作直线l1与椭圆D交于不同的两点P,Q,其中P点的坐标为(-2,0),若点N(0,t)是线段PQ垂直平分线上一点,且满足
NP
NQ
=4,求实数t的值.

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已知数列{an}满足a1=x,a2=3x,Sn+1+Sn+Sn-1=3n2+2(n≥2,n∈N*),Sn是数列{an}的前n项和.
(1)若数列{an}为等差数列.
(ⅰ)求数列的通项an
(ⅱ)若数列{bn}满足bn=2an,数列{cn}满足cn=t2bn+2-tbn+1-bn,试比较数列{bn}前n项和Bn与{cn}前n项和Cn的大小;
(2)若对任意n∈N*,an<an+1恒成立,求实数x的取值范围.

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在极坐标系中,过点(3,
π
3
)且垂直于极轴的直线方程的极坐标方程是
 
(请选择正确标号填空).(1)ρ=
3
2
sinθ;(2)ρ=
3
2
cosθ
;(3)ρsinθ=
3
2
;(4)ρcosθ=
3
2

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