【题目】已知是椭圆的左、右焦点,为坐标原点,点在椭圆上,线段与轴的交点满足.
(Ⅰ)求椭圆的标准方程;
(Ⅱ)圆是以为直径的圆,一直线与圆相切,并与椭圆交于不同的两点、,当,且满足时,求的面积的取值范围.
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【题目】已知函数,.
(1)若在点处的切线与直线垂直,求函数在点处的切线方程;
(2)若对于,恒成立,求正实数的取值范围;
(3)设函数,且函数有极大值点,求证:.
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【题目】如图,已知椭圆的左顶点,且点在椭圆上, 分别是椭圆的左、右焦点。过点作斜率为的直线交椭圆于另一点,直线交椭圆于点.
(1)求椭圆的标准方程;
(2)若为等腰三角形,求点的坐标;
(3)若,求的值.
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【题目】已知函数,其中,.
(1)当时,求函数的单调区间;
(2)当且时.
①若有两个极值点,(),求证:;
②若对任意的,都有成立,求正实数t的最大值.
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【题目】如图1,在矩形中,,,为的中点,为中点.将沿折起到,使得平面平面(如图2).
(1)求证:;
(2)求直线与平面所成角的正弦值;
(3)在线段上是否存在点,使得平面? 若存在,求出的值;若不存在,请说明理由.
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【题目】一幅标准的三角板如图1中,为直角,,为直角,,且,把与拼齐使两块三角板不共面,连结如图2.
(1)若是的中点,是的中点,求证:平面;
(2)在《九章算术》中,称四个面都是直角三角形的三棱锥为“鳖臑”,若图2中,三棱锥的体积为2,则图2是否为鳖臑?说明理由.
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【题目】如图,某景区是一个以为圆心,半径为的圆形区域,道路,成角,且均和景区边界相切,现要修一条与景区相切的观光木栈道,点,分别在和上,修建的木栈道与道路,围成的三角地块.
(1)求修建的木栈道与道路,围成的三角地块面积的最小值;
(2)若景区中心与木栈道段连线的.
①将木栈道的长度表示为的函数,并指定定义域;
②求出木栈道的长度最小值.
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