Question

19．如图，正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁的顶点A在平面α内，且直线AA₁与平面α所成的角为45°，顶点A₁在平面α上的射影为点O，当顶点C₁与点O的距离最大时，直线C₁B与平面α所成角的正弦值等于$\frac{2+\sqrt{2}}{4}$．

Answer 1

分析 设∠C₁A₁O为θ，正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁的棱长为1，直线C₁B与平面α所成角等于D₁A与平面α所成角，θ=135°时，顶点C₁与点O的距离最大，由此能求出直线C₁B与平面α所成角β的正弦值．

解答 解：设∠C₁A₁O为θ，正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁的棱长为1，
直线C₁B与平面α所成角等于D₁A与平面α所成角，
${C}_{1}{O}^{2}={A}_{1}{O}^{2}+{A}_{1}{{C}_{1}}^{2}-2{A}_{1}O•{A}_{1}{C}_{1•}$cosθ，
cosθ越小，θ越大，C₁O越大，
由图形得θ≤∠C₁A₁A+∠OAA₁=45°，
∴θ=135°时，顶点C₁与点O的距离最大，
作C₁在平面α内的投影O′，在C₁O′上取点H，使A₁H⊥C₁O′，
${C}_{1}{O}^{'}$=HO′+C₁H，HO′=A${\;}_{1}O=\frac{\sqrt{2}}{2}$，
∴∠C₁A₁H=θ-90°=45°，
∴C₁H=${C}_{1}{A}_{1}×\frac{\sqrt{2}}{2}=1$，∴${C}_{1}{O}^{'}$=1+$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
D₁到α的距离x等于A₁C₁与D₁B₁的交点E到α的距离，
∴x=$\frac{1}{2}（{C}_{1}{O}^{'}+{A}_{1}{O}^{'}）$=$\frac{1}{2}（1+\sqrt{2}）=\frac{1+\sqrt{2}}{2}$，
∴直线C₁B与平面α所成角β的正弦值为：
sinβ=$\frac{x}{{D}_{1}A}$=$\frac{1+\sqrt{2}}{2\sqrt{2}}=\frac{2+\sqrt{2}}{4}$．
故答案为：$\frac{2+\sqrt{2}}{4}$．

点评 本题考查线面角的正弦值的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养．