Question

【题目】已知函数在处取得极小值.

（1）求实数的值；

（2）设，其导函数为，若的图象交轴于两点且，设线段的中点为，试问是否为的根？说明理由.

Answer 1

【答案】（1）（2）不是的根

【解析】试题分析：（1）对函数求导，由函数 在处取得极小值可得，从而可得，然后将代入到导函数，验证函数 在处取得极小值即可；（2）由（1）知函数,根据的图象交轴于两点，可推出，令，可得，再令，构造，根据导数确定函数的单调性，可推出，即可得出结论.

试题解析：（1）∵

∴

由已知得.

∴

∴在上单调递减，在上单调递增

∴在处取得极小值，符合题意，故.

（2）由（1）知函数.

∵函数图象与轴交于， 两个不同点

∴，两式相减整理得： .

∵

∴

令，即.

∵

∴

令.

∵

∴

∴

设则

∵

∴

∴在上是增函数

∴

∴无解，即.

∴不是的根