Question

已知函数y=log_ax在（0，+∞）上是减函数，求函数f（x）=x²-2ax+3在[-2，

1

2

]上的最大值与最小值．

Answer 1

分析：由题意可得0＜a＜1，由函数f（x）的对称轴为x=a，当0＜a＜

1

2

时，利用函数的单调性求出最值，当

1

2

≤a＜1时，利用函数的单调性求出最值．

解答：解：∵函数y=log_ax在（0，+∞）上是减函数，故0＜a＜1．又函数f（x）的对称轴为x=a．
当0＜a＜

1

2

时，函数f（x）=x²-2ax+3在[-2，a]上单调递减，在[a，

1

2

]上单调递增
f（x）_max=f（-2）=7+4a，f（x）_min=f（a）=3-a² ．
当

1

2

≤a＜1时，函数f（x）=x²-2ax+3在[-2，

1

2

]上单调递减，
f（x）_max=f（-2）=7+4a，f(x)min=f(

1

2

)=

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4

-a．

点评：本题主要考查对数函数的单调性和特殊点，求二次函数在闭区间上的最值，体现了分类讨论的数学思想，属于中档题．