Question

设定义域为R的奇函数y=f（x）在区间（-∞，0）上是减函数．
（1）求证：函数y=f（x）在区间（0，+∞）上是单调减函数；
（2）试构造一个满足上述题意且在（-∞，+∞）内不是单调递减的函数．（不必证明）

Answer 1

解：（1）任取x₁，x₂∈（0，+∞），且x₁＜x₂，则0＞-x₁＞-x₂（2分）
由y=f（x）在区间（-∞，0）上是单调递减函数，有f（-x₁）＜f（-x₂），（3分）
又由y=f（x）是奇函数，有-f（x₁）＜-f（x₂），即f（x₁）＞f（x₂）． （3分）
所以，函数y=f（x）在区间（0，+∞）上是单调递减函数． （1分）
（2）如函数满足在（-∞，0）和（0，+∞）上是单调减函数，
但在（-∞，+∞）内不是单调递减的函数 （6分）
分析：（1）由单调性的定义可x₁，x₂∈（0，+∞），且x₁＜x₂，则0＞-x₁＞-x₂，则可得f（-x₁）＜f（-x₂），由奇函数的性质可得-f（x₁）＜-f（x₂），进而可得f（x₁）＞f（x₂），即得单调性；
（2）举出例子即可，举分段函数．
点评：本题考查函数单调性的判断与证明，属基础题．