Question

奇函数f（x）满足：①f（x）在（0，+∞）内单调递增；②f（1）=0，则不等式x•f（x）＜0的解集为

（-1，0）∪（0，1）

．

Answer 1

分析：利用奇函数在对称区间上有相同的单调性，结合题意即可求得不等式x•f（x）＜0的解集．

解答：解：∵f（x）在（0，+∞）内单调递增，且f（1）=0，
∴当0＜x＜1时，f（x）＜0；
当x＞1时，f（x）＞0；
∴当x＞0时，x•f（x）＜0的解集为（0，1）；①
∵f（x）为奇函数，
∴f（x）在对称区间上有相同的单调性，
∴f（x）在（-∞，0）内单调递增，且f（-1）=0，
∴当x＜0时，x•f（x）＜0的解集为（-1，0）；②
综合①②知，不等式x•f（x）＜0的解集为（-1，0）∪（0，1）．
故答案为：（-1，0）∪（0，1）．

点评：本题考查奇函数的单调性与对称性，考查解不等式的能力，考查逻辑思维与运算能力，属于中档题．