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8.在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD为直角梯形,AB、AD、AP互相垂直,AD=2BC,过BC的平面分别交PA、PD于M、N两点(M不与A重合).
(1)求证:MN∥平面ABCD
(2)已知BC=2,AB=3,PA=6,E、M分别为BC、PA的中点,求异面直线DE和CN所成的角的大小.

分析 (1)由梯形性质得BC∥AD,从而BC∥平面PAD,进而得到BC∥MN,由此能证明MN∥平面ABCD.
(2)以A为原点,AB为x轴,AD为y轴,AP为z轴,建立空间直角坐标系,利用向量法能求出异面直线DE和CN所成的角的大小.

解答 (1)证明:∵底面ABCD为直角梯形,AB、AD、AP互相垂直,∴BC∥AD,
∵BC?平面PAD,AD?平面PAD,∴BC∥平面PAD,
∵过BC的平面分别交PA、PD于M、N两点(M不与A重合),
∴BC与MN共面,且MN?平面PAD,∴BC∥MN,
∵BC?平面ABCD,MN?平面ABCD,
∴MN∥平面ABCD.
(2)解:以A为原点,AB为x轴,AD为y轴,AP为z轴,建立空间直角坐标系,
由已知得D(0,4,0),E(3,1,0),C(3,2,0),P(0,0,6),N(0,2,3),
$\overrightarrow{DE}$=(3,-3,0),$\overrightarrow{CN}$=(-3,0,3),
设异面直线DE和CN所成的角的大小为θ,
cosθ=|cos<$\overrightarrow{DE},\overrightarrow{CN}$>|=|$\frac{\overrightarrow{DE}•\overrightarrow{CN}}{|\overrightarrow{DE}|•|\overrightarrow{CN}|}$|=|$\frac{-9}{\sqrt{18}•\sqrt{18}}$|=$\frac{1}{2}$,
∴$θ=\frac{π}{3}$.
∴异面直线DE和CN所成的角的大小为$\frac{π}{3}$.

点评 本题考查线面平行的证明,考查异面直线所成角的大小的求法,是中档题,解题时要认真审题,注意空间思维能力的培养.

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