分析 (1)由梯形性质得BC∥AD,从而BC∥平面PAD,进而得到BC∥MN,由此能证明MN∥平面ABCD.
(2)以A为原点,AB为x轴,AD为y轴,AP为z轴,建立空间直角坐标系,利用向量法能求出异面直线DE和CN所成的角的大小.
解答 (1)证明:∵底面ABCD为直角梯形,AB、AD、AP互相垂直,∴BC∥AD,
∵BC?平面PAD,AD?平面PAD,∴BC∥平面PAD,
∵过BC的平面分别交PA、PD于M、N两点(M不与A重合),
∴BC与MN共面,且MN?平面PAD,∴BC∥MN,
∵BC?平面ABCD,MN?平面ABCD,
∴MN∥平面ABCD.
(2)解:以A为原点,AB为x轴,AD为y轴,AP为z轴,建立空间直角坐标系,
由已知得D(0,4,0),E(3,1,0),C(3,2,0),P(0,0,6),N(0,2,3),
$\overrightarrow{DE}$=(3,-3,0),$\overrightarrow{CN}$=(-3,0,3),
设异面直线DE和CN所成的角的大小为θ,
cosθ=|cos<$\overrightarrow{DE},\overrightarrow{CN}$>|=|$\frac{\overrightarrow{DE}•\overrightarrow{CN}}{|\overrightarrow{DE}|•|\overrightarrow{CN}|}$|=|$\frac{-9}{\sqrt{18}•\sqrt{18}}$|=$\frac{1}{2}$,
∴$θ=\frac{π}{3}$.
∴异面直线DE和CN所成的角的大小为$\frac{π}{3}$.
点评 本题考查线面平行的证明,考查异面直线所成角的大小的求法,是中档题,解题时要认真审题,注意空间思维能力的培养.
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A. | 2 | B. | 3 | C. | $1+\sqrt{3}$ | D. | $\sqrt{3}$ |
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科目:高中数学 来源: 题型:选择题
A. | 4km | B. | 2$\sqrt{3}$km | C. | 2$\sqrt{2}$km | D. | ($\sqrt{3}$+1)km |
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科目:高中数学 来源: 题型:选择题
A. | 1 | B. | $\frac{1}{3}$ | C. | $\frac{1}{6}$ | D. | $\frac{2}{3}$ |
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科目:高中数学 来源: 题型:选择题
A. | 22个 | B. | 19个 | C. | 16个 | D. | 13个 |
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科目:高中数学 来源: 题型:填空题
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