Question

3．在直角坐标系xOy中已知点A（1，1），B（3，3），C（4，2）．
（1）若$\overrightarrow{OQ}$=λ₁$\overrightarrow{OC}$+λ₂$\overrightarrow{OB}$，（λ₁，λ₂∈R，且满足λ₁+λ₂=1．写出Q的轨迹方程（可以只写结果）；
（2）点P（x，y）在三角形ABC三边围成的区域内（含边界），若有$\overrightarrow{OP}$=m$\overrightarrow{AB}$+n$\overrightarrow{AC}$（m，n∈R）．用x，y表示m+n，并求m+n的取值范围．

Answer 1

分析 （1）设Q（x，y），由$\overrightarrow{OQ}$=λ₁$\overrightarrow{OC}$+λ₂$\overrightarrow{OB}$，可得（x，y）=λ₁（4，2）+λ₂（3，3），又λ₁+λ₂=1．消去λ₁，λ₂化简即可得出．
（2）$\overrightarrow{AB}$=（2，2），$\overrightarrow{AC}$=（3，1）．由$\overrightarrow{OP}$=m$\overrightarrow{AB}$+n$\overrightarrow{AC}$，可得（x，y）=m（2，2）+n（3，1）．解出可得m+n=$\frac{x+y}{4}$=t，化为y=-x+4t．如图所示，当目标函数与直线BC重合时，t取得最大值，当目标函数经过点A时，t取得最小值，即可得出．

解答 解：（1）设Q（x，y），∵$\overrightarrow{OQ}$=λ₁$\overrightarrow{OC}$+λ₂$\overrightarrow{OB}$，
∴（x，y）=λ₁（4，2）+λ₂（3，3），
∴$\left\{\begin{array}{l}{x=4{λ}_{1}+3{λ}_{2}}\\{y=2{λ}_{1}+3{λ}_{2}}\end{array}\right.$，又λ₁+λ₂=1．
化为：x+y=6．即为点Q的轨迹．
（2）$\overrightarrow{AB}$=（2，2），$\overrightarrow{AC}$=（3，1）．
∵$\overrightarrow{OP}$=m$\overrightarrow{AB}$+n$\overrightarrow{AC}$，∴（x，y）=m（2，2）+n（3，1）．
∴$\left\{\begin{array}{l}{x=2m+3n}\\{y=2m+n}\end{array}\right.$，解得n=$\frac{x-y}{2}$，m=$\frac{3y-x}{4}$．
∴m+n=$\frac{x+y}{4}$=t，
化为y=-x+4t．
k_BC=$\frac{3-2}{3-4}$=-1．
如图所示，当目标函数与直线BC重合时，t取得最大值，t=$\frac{4+4}{4}$=2．
当目标函数经过点A时，t取得最小值，t=$\frac{1+1}{4}$=$\frac{1}{2}$．
∴m+n的取值范围是$[\frac{1}{2}，2]$．

点评 本题考查了向量的线性运算、线性规划、直线方程，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．