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20.己知二次函数f(x)的最小值为1,且f(0)=f(2)=3.
(1)求f(x)的解析式;
(2)若f(x)在区间[2a,a+1]上不单调,求实数a的取值范围;
(3)在区间[-3,0]上,y=f(x)的图象恒在y=2x+2m+1的图象上方,试确定实数m的取值范围.

分析 (1)用待定系数法先设函数f(x)的解析式,再由已知条件求解未知量即可,
(2)只需保证对称轴落在区间内部即可,
(3)在区间[-3,0]上,y=f(x)的图象恒在y=2x+2m+1的图象上方,直接利用二次函数闭区间上的最值求解即可.

解答 解:(1)∵f(x)为二次函数且f(0)=f(2),
∴对称轴为x=1.
又∵f(x)最小值为1,∴可设f(x)=a(x-1)2+1 (a>0)
∵f(0)=3,∴a=2,∴f(x)=2(x-1)2+1,
即f(x)=2x2-4x+3.
(2)由条件知2a<1<a+1,∴0<a<$\frac{1}{2}$.
(3)x∈[-3,0]时,2x2-4x+3>2x+2m+1,
∴2m<2x2-6x+2,
即-3≤x≤0时:,m<x2-3x+1,
令g(x)=x2-3x+1=(x-$\frac{3}{2}$)2-$\frac{5}{4}$,(-3≤x≤0),
∴g(x)的对称轴是x=$\frac{3}{2}$,函数在[-3,0]递减,
∴g(x)min=g(0)=1,
∴m<1.

点评 本题考查函数的解析式的求法二次函数的最值,函数的恒成立条件的应用,考查分析问题解决问题的能力.

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