Question

15．如图，沿等腰直角三角形ABC的中位线DE，将平面ADE折起，使得平面ADE⊥平面BCDE，并得到四棱锥A-BCDE．
（Ⅰ）求证：平面ABC⊥平面ACD；
（Ⅱ）M是棱CD的中点，过M的与平面ABC平行的平面α，设平面α截四棱锥A-BCDE所得截面面积为S₁，三角形ABC的面积为S₂，试求S₁：S₂的值．

Answer 1

分析 （1）AD⊥DE，平面ADE⊥平面BCDE，根据两个平面垂直的性质定理得AD⊥平面BCDE，所以AD⊥BC，又CD⊥BC，根据线面垂直的判定定理BC⊥平面ACD，BC?平面ABC，所以平面ABC⊥平面ACD
（2）由于平面α∥平面ABC，故平面ACD与平面α的交线MQ∥AC，M是CD的中点，故Q是AD的中点；同理平面BCDE与平面α的交线MN∥BC，N为BE的中点；平面ABE的交线NP∥AB，P为AE的中点，连接PQ即为平面α与平面ADE的交线，故平面α与四棱锥A-BCDE各个面的交线所围成多边形就是四边形MNPQ，进一步观察可知四边形MNPQ是直角梯形，进而由比例关系可以求得截面面积与△ABC的面积之比．

解答 解：（1）∵AD⊥DE，平面ADE⊥平面BCDE，平面ADE∩平面BCDE=DE，
∴AD⊥平面BCDE，
∴AD⊥BC，
又∵CD⊥BC，AD∩CD=D，
∴BC⊥平面ACD，
又∵BC?平面ABC，
∴平面ABC⊥平面ACD
（2）∵平面α∥平面ABC，设平面ACD与平面α的交线为MQ，
∴MQ∥AC，
又∵M是CD的中点，
∴Q是AD的中点；
同理：设平面BCDE与平面α的交线为MN，
∴MN∥BC，
又∵M是CD的中点，
∴N为BE的中点；
同理：平面ABE的交线NP∥AB，P为AE的中点，
连接PQ即为平面α与平面ADE的交线，故平面α与四棱锥A-BCDE各个面的交线所围成多边形是图中的四边形MNPQ，
由于PQ∥DE，DE∥MN，故PQ∥MN，根据（1）BC⊥AC，由MN∥BC，MQ∥AC，故MQ⊥MN，即四边形MNPQ′是直角梯形．
设CM=a，则MQ=$\sqrt{2}$a，MN=3a，PQ=a，BC=4a，AC=2$\sqrt{2}$a，
故四边形MNPQ的面积是$\frac{a+3a}{2}×\sqrt{2}a$=$2\sqrt{2}{a}^{2}$，三角形ABC的面积是$\frac{1}{2}×4a×2\sqrt{2}a$=4$\sqrt{2}$a²，
故平面α与四棱锥A-BCDE各个面的交线所围成多边形的面积与三角形ABC的面积之比为1：2．

点评 本小题主要考查空间线面关系、多边形的面积计算等知识，考查数形结合、化归与转化的数学思想方法，以及空间想象能力、推理论证能力和运算求解能力．