Question

（2011•宝坻区一模）已知函数f（x）=ax³+bx²的图象经过点A（1，4），且在点A处的切线恰好与直线9x-y+3=0平行．
（Ⅰ）求实数a，b的值；
（Ⅱ）若函数f（x）在区间[m，m+1]上单调递增，求实数m的取值范围．

Answer 1

分析：（1）将M的坐标代入f（x）的解析式，得到关于a，b的一个等式；求出导函数，求出f′（1）即切线的斜率，利用垂直的两直线的斜率之积为-1，列出关于a，b的另一个等式，解方程组，求出a，b的值．
（2）求出 f′（x），令f′（x）＞0，求出函数的单调递增区间，据题意知[m，m+1]⊆（-∞，-2]∪[0，+∞），列出端点的大小，求出m的范围．

解答：解：（1）∵f（x）=ax³+bx²的图象经过点M（1，4），∴a+b=4    ①式 
f'（x）=3ax²+2bx，则f'（1）=3a+2b
由条件f′（1）=9，即3a+2b=9    ②式
由①②式解得a=1，b=3
（2）f（x）=x³+3x²，f'（x）=3x²+6x，
令f'（x）=3x²+6x≥0得x≥0或x≤-2
∵函数f（x）在区间[m，m+1]上单调递增
∴[m，m+1]⊆（-∞，-2]∪[0，+∞）
∴m≥0或m+1≤-2
∴m≥0或m≤-3

点评：注意函数在切点处的导数值是曲线的切线斜率；属于中档题．