Question

已知a＞0，定义在D上的函数f（x）和g（x）的值域依次是[-（2a+3）π³，a+6]和[a2+

25

4

，(a2+

25

4

)π4]，若存在x1，x2∈D，使得|f(x1)-g(x2)|＜

1

4

成立，则a的取值范围为

（0，1）

．

Answer 1

分析：定义在D上的函数f（x）和g（x）的值域，得到：f（x）的最大值为a+6，g（x）的最小值为：a2+

25

4

，结合条件：存在x1，x2∈D，使得|f(x1)-g(x2)|＜

1

4

成立，得到f（x）的最大值与g（x）的最小值差的绝对值小于

1

4

，得出一个关于a的不等关系，|解之即得a的取值范围．

解答：解：∵定义在D上的函数f（x）和g（x）的值域依次是[-（2a+3）π³，a+6]和[a2+

25

4

，(a2+

25

4

)π4]，
∴f（x）的最大值为a+6，g（x）的最小值为：a2+

25

4

，
∵存在x1，x2∈D，使得|f(x1)-g(x2)|＜

1

4

成立，则
∴|a2+

25

4

-（a+6）|＜

1

4

，
解之得：0＜a＜1，
故答案为：（0，1）．

点评：本小题主要考查函数的值域、函数的最值的应用、不等式的解法等基础知识，考查运算求解能力，考查化归与转化思想．属于中档题．