Question

3．已知函数$f（x）=axsinx-\frac{3}{2}（a∈R）$，若对$x∈[0，\frac{π}{2}]$时，f（x）的最大值为$\frac{π-3}{2}$，则
（1）实数a的值为1      
 （2）函数f（x）在（0，4π）内的零点个数为4．

Answer 1

分析 （1）讨论a的符号得出f′（x）的符号，得出f（x）的单调性，根据最大值列方程解出a；
（2）根据令g（x）=xsinx，得出g（x）的符号，估计g（x）在（0，π）的最大值与$\frac{3}{2}$的关系，结合函数图象得出答案．

解答 解：（1）f′（x）=asinx+axcosx=a（sinx+xcosx），
∵x∈[0，$\frac{π}{2}$]，∴sinx+xcosx≥0，
当a=0时，f（x）=-$\frac{3}{2}$，与f（x）的最大值为$\frac{π-3}{2}$矛盾；
当a＞0时，f′（x）＞0，f（x）在[0，$\frac{π}{2}$]上单调递增，
∴f_max（x）=f（$\frac{π}{2}$）=$\frac{aπ}{2}-\frac{3}{2}$=$\frac{π-3}{2}$，∴a=1．
当a＜0时，f′（x）＜0，f（x）在[0，$\frac{π}{2}$]上单调递减，
∴f_max（x）=f（0）=-$\frac{3}{2}$，与（x）的最大值为$\frac{π-3}{2}$矛盾．
综上，a=1．
（2）f（x）=xsinx-$\frac{3}{2}$，令f（x）=0得xsinx=$\frac{3}{2}$．
令g（x）=xsinx=0得x=kπ，k∈Z．
∴当0＜x＜π或2π＜x＜3π时，g（x）＞0，
当π＜x＜2π或3π＜x＜4π时，g（x）＜0，
且g（$\frac{5π}{2}$）=$\frac{5π}{2}$，g（$\frac{π}{2}$）=$\frac{π}{2}$$＞\frac{3}{2}$，
作出g（x）=xsinx的大致函数图象如图所示：

∴g（x）=$\frac{3}{2}$有4个解，即f（x）在（0，4π）上有4解．
故答案为（1）1；（2）4．

点评 本题考查了函数单调性的判断，函数零点与函数图象的关系，属于中档题．