如图.现有一个以∠AOB为圆心角.湖岸OA与OB为半径的扇形湖面AOB．现欲在弧AB上取不同于A.B的点C.用渔网沿着弧AC(弧AC在扇形AOB的弧AB上).半径OC和线段CD.在该扇形湖面内隔出两个养殖区域--养殖区域Ⅰ和养殖区域Ⅱ．若OA=1cm.∠AOB=π3.∠AOC=θ．(1)用θ表示CD的长度,(2)求所需渔网长度(即图中弧AC.半径OC和线段CD长度之� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

如图，现有一个以∠AOB为圆心角、湖岸OA与OB为半径的扇形湖面AOB．现欲在弧AB上取不同于A，B的点C，用渔网沿着弧AC（弧AC在扇形AOB的弧AB上）、半径OC和线段CD（其中CD∥OA），在该扇形湖面内隔出两个养殖区域--养殖区域Ⅰ和养殖区域Ⅱ．若OA=1cm，∠AOB=

，∠AOC=θ．
（1）用θ表示CD的长度；
（2）求所需渔网长度（即图中弧AC、半径OC和线段CD长度之和）的取值范围．

分析：（1）先确定∠COD，再在△OCD中，利用正弦定理，可求CD的长度；
（2）根据所需渔网长度，即图中弧AC、半径OC和线段CD长度之和，确定函数的解析式，利用导数确定函数的最值，即可求得所需渔网长度的取值范围．

解答：解：（1）由CD∥OA，∠AOB=

，∠AOC=θ，得∠OCD=θ，∠ODC=

2π

，∠COD=

-θ．
在△OCD中，由正弦定理，得CD=

sin（

-θ），θ∈（0，

）（6分）
（2）设渔网的长度为f（θ）．
由（1）可知，f（θ）=θ+1+

sin（

-θ）．（8分）
所以f′（θ）=1-

cos（

-θ），因为θ∈（0，

），所以

-θ∈（0，

），
令f′（θ）=0，得cos（

-θ）=

，所以

-θ=

，所以θ=

．

（0，

）

（

，

）

f′（θ）

f（θ）

极大值

所以f（θ）∈（2，

π+6+2

]．
故所需渔网长度的取值范围是（2，

π+6+2

]．（14分）

点评：本题考查正弦定理的运用，考查函数模型的构建，考查利用导数确定函数的最值，确定函数的解析式是关键．

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