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    对于数列{An}：A1，A2，A3，…，An，若不改变A1，仅改变A2，A3，…，An中部分项的符号，得到的新数列{an}称为数列{An}的一个生成数列．如仅改变数列1，2，3，4，5的第二、三项的符号可以得到一个生成数列1，-2，-3，4，5．已知数列{an}为数列{
    1
    2n
    }(n∈N*)    的生成数列，Sn为数列{an}的前n项和．
    （1）写出S3的所有可能值；
    （2）若生成数列{an}的通项公式为an=
    1
    2n
    ，n=3k+1
    -
    1
    2n
    ，n≠3k+1
    ，k∈N    ，求Sn；
    （3）用数学归纳法证明：对于给定的n∈N*，Sn的所有可能值组成的集合为：{x|x=
    2m-1
    2n
    ，m∈N*，m≤2n-1}    ．
    分析：（1）依题意，可得a2=±
    1
    4
    ，a3=±
    1
    8
    ，从而可求得S3的所有可能值；
    （2）利用an=
    1
    2n
    ，n=3k+1
    -
    1
    2n
    ，n≠3k+1
    ，k∈N    ，分n=3k、n=3k+1与n=3k+2（k∈N*）讨论，利用分组求和与等比数列的求和公式即可求得Sn；
    （3）利用数学归纳法，①当n=1时，易证命题成立；②假设n=k时命题成立，去证明n=k+1时命题也成立即可．
    解答：（1）由已知，a1=
    1
    2
    ，|an|=
    1
    2n
    （n∈N*，n≥2），
    ∴a2=±
    1
    4
    ，a3=±
    1
    8
    ，
    由于
    1
    2
    +
    1
    4
    +
    1
    8
    =
    7
    8
    ，
    1
    2
    +
    1
    4
    -
    1
    8
    =
    5
    8
    ，
    1
    2
    -
    1
    4
    +
    1
    8
    =
    3
    8
    ，
    1
    2
    -
    1
    4
    -
    1
    8
    =
    1
    8

    ∴S3可能值为
    1
    8
    ，
    3
    8
    ，
    5
    8
    ，
    7
    8
    ．
    （2）∵an=
    1
    2n
    ，n=3k+1
    -
    1
    2n
    ，n≠3k+1
    ，k∈N
    ∴n=3k（k∈N*）时，Sn=（
    1
    21
    -
    1
    22
    -
    1
    23
    ）+（
    1
    24
    -
    1
    25
    -
    1
    26
    ）+…+（
    1
    23k-2
    -
    1
    23k-1
    -
    1
    23k
    ）
    =（
    1
    21
    +
    1
    24
    +…+
    1
    23k-2
    ）-（
    1
    22
    +
    1
    25
    +…+
    1
    23k-1
    ）-（
    1
    23
    +
    1
    26
    +
    1
    23k
    ）
    =
    1
    2
    [1-(
    1
    23
    )    k    ]
    1-
    1
    23
    -
    1
    22
    [1-(
    1
    23
    )    k    ]
    1-
    1
    23
    -
    1
    23
    [1-(
    1
    23
    )    k    ]
    1-
    1
    23

    =
    8
    7
    [1-(
    1
    8
    )    k    ]（
    1
    2
    -
    1
    4
    -
    1
    8
    ）
    =
    1
    7
    [1-(
    1
    2
    )    n    ]；
    n=3k+1（k∈N）时，Sn=Sn-1+an=
    1
    7
    [1-(
    1
    2
    )    n    ]+
    1
    2n
    =
    1
    7
    [1+5(
    1
    2
    )    n    ]；
    n=3k+2（k∈N）时，Sn=Sn+1-an+1=
    1
    7
    [1-(
    1
    2
    )    n+1    ]+
    1
    2n+1
    =
    1
    7
    [1+3(
    1
    2
    )    n    ]；
    ∴Sn=
    1
    7
    (1-
    1
    2n
    )，n=3k
    1
    7
    (1+
    5
    2n
    )，n=3k+1
    1
    7
    (1+
    3
    2n
    )，n=3k+2
    (k∈N)    ．
    （3）①n=1时，S1=
    1
    2
    ，命题成立．             
    ②假设n=k（k≥1）时命题成立，即Sk所有可能值集合为：{x|x=
    2m-1
    2k
    ，m∈N*，m≤2k-1}
    由假设，Sk=
    2m-1
    2k
    （m∈N*，m≤2k-1），
    则当n=k+1，Sk+1=
    1
    2
    ±
    1
    22
    ±
    1
    23
    ±…+
    1
    2k
    ±
    1
    2k+1
    =Sk±
    1
    2k+1
    =
    2k+1Sk±1
    2k+1
    ，
    又Sk+1=
    2k+1Sk±1
    2k+1
    =
    2(2m-1)±1
    2k+1
    （m∈N*，m≤2k-1），
    即Sk+1=
    2×(2m-1)-1
    2k+1
    或Sk+1=
    2×(2m)-1
    2k+1
    （m∈N*，m≤2k-1）
    即Sk+1=
    2m-1
    2k+1
    （m∈N*，m≤2k）∴n=k+1时，命题成立．
    由①②，n∈N*，Sn所有可能值集合为{x|x=
    2m-1
    2n
    ，m∈N*，m≤2n-1}．
    点评：本题考查数学归纳法，着重考查对新数列概念的理解，考查推理、转化、抽象思维与创新思维的综合应用能力，属于难题．
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    B1-A
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