曲线x2+y|y|=1与直线y=kx有且仅有两个公共点,则k的取值范围是
A.(-∞,-1)∪(1,+∞)
B.(-∞,-1]∪[1,+∞)
C.(-1,1)
D.[-1,1]
科目:高中数学 来源: 题型:
设函数f(x)=-x3+x2+(m2-1)x(x∈R),其中m>0.
(1)当m=1时,求曲线y=f(x)在(1,f(1))点处的切线的方程;
(2)求函数f(x)的单调区间与极值;
(3)已知函数g(x)=f(x)+有三个互不相同的零点,求m的取值范围.
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科目:高中数学 来源:2014届山西省高二上学期期末文科数学试卷(A)(解析版) 题型:选择题
曲线y=x2-x+4上一点P处的切线的斜率为5,则点P处的切线方程为
A.5x-y-5=0 B.5x-y+5=0
C.5x-y-53=0 D.5x-y+53=0
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科目:高中数学 来源:2013届黑龙江虎林高中高二下学期期中理科数学试卷(解析版) 题型:解答题
已知函数f(x)=alnx-x2+1.
(1)若曲线y=f(x)在x=1处的切线方程为4x-y+b=0,求实数a和b的值;
(2)若a<0,且对任意x1、x2∈(0,+∞),都|f(x1)-f(x2)|≥|x1-x2|,求a的取值范围.
【解析】第一问中利用f′(x)=-2x(x>0),f′(1)=a-2,又f(1)=0,所以曲线y=f(x)在x=1处的切线方程为y=(a-2)(x-1),即(a-2)x-y+2-a=0,
由已知得a-2=4,2-a=b,所以a=6,b=-4.
第二问中,利用当a<0时,f′(x)<0,∴f(x)在(0,+∞)上是减函数,
不妨设0<x1≤x2,则|f(x1)-f(x2)|=f(x1)-f(x2),|x1-x2|=x2-x1,
∴|f(x1)-f(x2)|≥|x1-x2|等价于f(x1)-f(x2)≥x2-x1,
即f(x1)+x1≥f(x2)+x2,结合构造函数和导数的知识来解得。
(1)f′(x)=-2x(x>0),f′(1)=a-2,又f(1)=0,所以曲线y=f(x)在x=1处的切线方程为y=(a-2)(x-1),即(a-2)x-y+2-a=0,
由已知得a-2=4,2-a=b,所以a=6,b=-4.
(2)当a<0时,f′(x)<0,∴f(x)在(0,+∞)上是减函数,
不妨设0<x1≤x2,则|f(x1)-f(x2)|=f(x1)-f(x2),|x1-x2|=x2-x1,
∴|f(x1)-f(x2)|≥|x1-x2|等价于f(x1)-f(x2)≥x2-x1,即f(x1)+x1≥f(x2)+x2,
令g(x)=f(x)+x=alnx-x2+x+1,g(x)在(0,+∞)上是减函数,
∵g′(x)=-2x+1=(x>0),
∴-2x2+x+a≤0在x>0时恒成立,
∴1+8a≤0,a≤-,又a<0,
∴a的取值范围是
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