分析 (1)设M(x1,y1),N(x2,y2),Q(x0,y0),联立$\left\{\begin{array}{l}{y=2{x}^{2}}\\{y=kx+2}\end{array}\right.$,得2x2-kx-2=0,由此利用韦达定理、导数性质能证明抛物线C在T点处的切线与MN平行.
(2)求出T($\frac{k}{4},\frac{{k}^{2}}{8}$),由此利用向量的数量积公式和韦达定理能求出存在k=±2,满足$\overline{TM}•\overline{TN}$=0.
解答 (本小题满分12分)
证明:(1)设M(x1,y1),N(x2,y2),Q(x0,y0),…(1分)
联立$\left\{\begin{array}{l}{y=2{x}^{2}}\\{y=kx+2}\end{array}\right.$,得2x2-kx-2=0,…(2分)
∴${x}_{1}+{x}_{2}=\frac{k}{2}$,x1x2=-1,…(3分)
∴${x}_{0}=\frac{{x}_{1}+{x}_{2}}{2}=\frac{k}{4}$,…(4分)
∵y=2x2,∴${{y}^{'}|}_{x={x}_{0}}^{\;}$=k,
∴抛物线C在T点处的切线与MN平行. …(6分)
解:(2)由(1)得T($\frac{k}{4},\frac{{k}^{2}}{8}$),…(7分)
则$\overrightarrow{TM}•\overrightarrow{TN}$=(${x}_{1}-\frac{k}{4}$)(${x}_{2}-\frac{k}{4}$)+(y1-$\frac{{k}^{2}}{8}$)(${y}_{2}-\frac{{k}^{2}}{8}$)
=(k2+1)x1x2+($\frac{7}{4}k-\frac{{k}^{3}}{8}$)(x1+x2)+$\frac{{k}^{2}}{16}+(2-\frac{{k}^{2}}{8})^{2}$…(9分)
=-$\frac{3}{63}({k}^{2}-4)({k}^{2}+16)$=0,…(11分)
解得k=±2,
∴存在k=±2,满足$\overline{TM}•\overline{TN}$=0.…(12分)
点评 本题考查直线平行的证明,考查使得数量积为零的斜率是否存在的判断与求法,是中档题,解题时要认真审题,注意导数性质、韦达定理、直线与圆锥曲线的位置关系的合理运用.
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A. | $\frac{2016}{2017}$ | B. | $\frac{2015}{2016}$ | C. | $\frac{2014}{2015}$ | D. | 1 |
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A. | $\overline{{x}_{1}}>\overline{{x}_{2}}$,${s}_{1}^{2}{>s}_{2}^{2}$ | B. | $\overline{{x}_{1}}>\overline{{x}_{2}}$,${s}_{1}^{2}{<s}_{2}^{2}$ | ||
C. | $\overline{{x}_{1}}<\overline{{x}_{2}}$,${s}_{1}^{2}{<s}_{2}^{2}$ | D. | $\overline{{x}_{1}}<\overline{{x}_{2}}$,${s}_{1}^{2}{>s}_{2}^{2}$ |
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A. | $\frac{2}{5}$ | B. | $\frac{4}{5}$ | C. | $\frac{4}{25}$ | D. | $\frac{16}{25}$ |
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