Question

2．如图，已知球的半径为3，球内接圆锥的高为h（h＞3），体积为V，
（1）写出以h表示V的函数关系式V（h）；
（2）当h为何值时，V（h）有最大值，并求出该最大值．

Answer 1

分析 （1）利用已知条件，设出变量O'C=r，然后得到$V（h）=\frac{1}{3}π{r^2}h=\frac{1}{3}π（6h-{h^2}）h=2π{h^2}-\frac{{π{h^3}}}{3}（3＜h＜6）$
（2）借助于函数求解导数，然后判定单调性得到最值．

解答 解：（1）连接OC，设O'C=r，有OC=3，O'O=h-3，
则有（h-3）²+r²=3²，即r²=6h-h²．…（3分）
$V（h）=\frac{1}{3}π{r^2}h=\frac{1}{3}π（6h-{h^2}）h=2π{h^2}-\frac{{π{h^3}}}{3}（3＜h＜6）$…（6分）
（2）V'（h）=πh（4-h），
当3＜h＜4，V'（h）＞0，V（h）单增；
当4＜h＜6，V'（h）＜0，V（h）单减；
V（h）_max=V（4）．…（10分）
当h=4时，$V{（h）_{max}}=\frac{32}{3}π$．…（12分）

点评 本题考查函数解析式的求法，考查导数在研究最值问题中的运用，是中档题，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养．