Question

设计一幅宣传画，要求画面面积为4840cm²，画面的宽与高的比为λ（λ＞0），画面的上、下各留8cm空白，左、右各留5cm空白．
（1）用λ表示宣传画所用纸张面积S=f（λ）；
（2）判断函数S=f（λ）在（0，+∞）上的单调性，并证明你的结论；
（3）当λ取何值时，宣传画所用纸张面积S=f（λ）最小？

Answer 1

分析：（1）设画面高为xcm，宽为λxcm，则λx²=4840，可得纸张面积，从而可得结论；
（2）利用单调性的定义，即可得出结论；
（3）利用函数的单调性，即可求最值．

解答：解：（1）设画面高为xcm，宽为λxcm，则λx²=4840．
所以纸张面积为S=f（λ）=（x+16）（λx+10）=λx²+（16λ+10）x+160，---------（2分）
将x=

22 10

λ

代入上式，得S=f（λ）=5000+44

10

（8

λ

+

5

λ

）．----------（4分）
（2）设0＜λ1＜λ2≤

5

8

则f(λ1)-f(λ2)=44

10

[8(

λ1

-

λ2

)+(

5

λ1

-

5

λ2

)]=
44

10

[8(

λ1

-

λ2

)+

5

λ1λ2

(

λ2

-

λ1

)]=44

10

(

λ1

-

λ2

)(8-

5

λ1λ2

)-----------（6分）
当0＜λ1＜λ2≤

5

8

时，

λ1λ2

＜

5

8

，∴

5

λ1λ2

＞8，
∴8-

5

λ1λ2

＜0，
∴f（λ₁）-f（λ₂）＞0，即f（λ₁）＞f（λ₂），
∴函数S=f（λ）在(0，

5

8

]上是减函数．
同理可证S=f（λ）在[

5

8

，+∞)上是增函数．-----------（8分）
（3）由（2）知，当λ∈(0，

5

8

]时，S=f（λ）是减函数，∴f(λ )≥f(

5

8

)
当λ∈[

5

8

，+∞)时，S=f（λ）是增函数，∴f(λ )≥f(

5

8

)；
∴当λ=

5

8

时，Smin=f(

5

8

)=6760cm2
答：λ=

5

8

时，使所用纸张面积最小为6760cm²-----------（10分）

点评：本题考查利用数学知识解决实际问题，考查函数的单调性与最值，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．