Question

2．已知0＜θ＜π，且sinθ-cosθ=$\frac{1}{5}$，求sinθ+cosθ，tanθ的值．

Answer 1

分析 把已知的等式两边平方，求出2sinθcosθ的值，结合0＜θ＜π求出θ为第一象限角，可得sinθ+cosθ的值，与已知等式联立求出sinθ、cosθ，则tanθ的值可求．

解答 解：由sinθ-cosθ=$\frac{1}{5}$，两边平方得，
$si{n}^{2}θ+co{s}^{2}θ-2sinθcosθ=\frac{1}{25}$，
∴2sinθcosθ=$\frac{24}{25}$，又0＜θ＜π，
∴θ∈（0，$\frac{π}{2}$），
则sinθ+cosθ=$\sqrt{（sinθ+cosθ）^{2}}=\sqrt{1+2sinθcosθ}$=$\sqrt{1+\frac{24}{25}}=\frac{7}{5}$；
联立$\left\{\begin{array}{l}{sinθ-cosθ=\frac{1}{5}}\\{sinθ+cosθ=\frac{7}{5}}\end{array}\right.$，解得sinθ=$\frac{4}{5}$，cosθ=$\frac{3}{5}$．
∴tan$θ=\frac{sinθ}{cosθ}=\frac{\frac{4}{5}}{\frac{3}{5}}=\frac{4}{3}$．

点评 本题考查三角函数的化简与求值，考查了同角三角函数基本关系式的应用，注意分析角θ的范围是解答该题的关键，是基础题．