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3.已知$\vec a$=(sinx,cosx),$\vec b$=(sinx,sinx),函数f(x)=$\vec a•\vec b$.
( I)求f(x)的对称轴方程;
( II)求使f(x)≥1成立的x的取值集合;
( III) 若对任意实数$x∈[{\frac{π}{6},\frac{π}{3}}]$,不等式f(x)-m<2恒成立,求实数m的取值范围.

分析 (Ⅰ)利用向量的数量积运算、二倍角的公式,两角差的正弦公式化简解析式,由正弦函数的对称轴和整体思想求出f(x)的对称轴方程;
(Ⅱ)由(I)化简f(x)≥1,由正弦函数的图象与性质列出不等式,求出不等式的解集;
(Ⅲ)由由x的范围求出$2x-\frac{π}{4}$的范围,利用正弦函数的性质求出f(x)的最大值,根据条件和恒成立问题列出不等式,求出实数m的取值范围.

解答 解:( I)$f(x)=\vec a•\vec b={sin^2}x+sinx•cosx=\frac{1-cos2x}{2}+\frac{1}{2}sin2x$…(1分)
=$\frac{{\sqrt{2}}}{2}sin(2x-\frac{π}{4})+\frac{1}{2}$…(2分)
令$2x-\frac{π}{4}=kπ+\frac{π}{2},k∈Z$,解得$x=\frac{kπ}{2}+\frac{3π}{8},k∈Z$.
∴f(x)的对称轴方程为$x=\frac{kπ}{2}+\frac{3π}{8},k∈Z$.…(4分)
( II)由f(x)≥1得$\frac{{\sqrt{2}}}{2}sin(2x-\frac{π}{4})+\frac{1}{2}≥1$,即$sin(2x-\frac{π}{4})≥\frac{{\sqrt{2}}}{2}$…(5分)
∴$\frac{π}{4}+2kπ≤2x-\frac{π}{4}≤\frac{3π}{4}+2kπ,k∈Z$.
故x的取值集合为$\left\{{x|\frac{π}{4}+kπ≤x≤\frac{π}{2}+kπ,k∈Z}\right\}$.…(7分)
( III)∵$x∈[{\frac{π}{6},\frac{π}{3}}]$,∴$\frac{π}{12}≤2x-\frac{π}{4}≤\frac{5π}{12}$…(8分)
又∵$y=sinx在[{0,\frac{π}{2}}]$上是增函数,∴$sin\frac{π}{12}≤sin(2x-\frac{π}{4})≤sin\frac{5π}{12}$…(9分)
又$sin\frac{5π}{12}=sin(\frac{π}{6}+\frac{π}{4})=\frac{{\sqrt{6}+\sqrt{2}}}{4}$,
∴$f(x)在x∈[{\frac{π}{6},\frac{π}{3}}]$时的最大值是$f{(x)_{max}}=\frac{{\sqrt{2}}}{2}×\frac{{\sqrt{6}+\sqrt{2}}}{4}+\frac{1}{2}=\frac{{\sqrt{3}+3}}{4}$…(10分)
∵f(x)-m<2恒成立,
∴m>f(x)max-2,即$m>\frac{{\sqrt{3}-5}}{4}$…(11分)
∴实数m的取值范围是$(\frac{\sqrt{3}-5}{4},+∞)$.…(12分)

点评 本题考查正弦函数的图象与性质,三角恒等变换中的公式,向量数量积的运算,以及恒成立问题的转化,考查转化思想,数形结合思想,化简、变形能力.

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