Question

3．已知$\vec a$=（sinx，cosx），$\vec b$=（sinx，sinx），函数f（x）=$\vec a•\vec b$．
（ I）求f（x）的对称轴方程；
（ II）求使f（x）≥1成立的x的取值集合；
（ III） 若对任意实数$x∈[{\frac{π}{6}，\frac{π}{3}}]$，不等式f（x）-m＜2恒成立，求实数m的取值范围．

Answer 1

分析 （Ⅰ）利用向量的数量积运算、二倍角的公式，两角差的正弦公式化简解析式，由正弦函数的对称轴和整体思想求出f（x）的对称轴方程；
（Ⅱ）由（I）化简f（x）≥1，由正弦函数的图象与性质列出不等式，求出不等式的解集；
（Ⅲ）由由x的范围求出$2x-\frac{π}{4}$的范围，利用正弦函数的性质求出f（x）的最大值，根据条件和恒成立问题列出不等式，求出实数m的取值范围．

解答 解：（ I）$f（x）=\vec a•\vec b={sin^2}x+sinx•cosx=\frac{1-cos2x}{2}+\frac{1}{2}sin2x$…（1分）
=$\frac{{\sqrt{2}}}{2}sin（2x-\frac{π}{4}）+\frac{1}{2}$…（2分）
令$2x-\frac{π}{4}=kπ+\frac{π}{2}，k∈Z$，解得$x=\frac{kπ}{2}+\frac{3π}{8}，k∈Z$．
∴f（x）的对称轴方程为$x=\frac{kπ}{2}+\frac{3π}{8}，k∈Z$．…（4分）
（ II）由f（x）≥1得$\frac{{\sqrt{2}}}{2}sin（2x-\frac{π}{4}）+\frac{1}{2}≥1$，即$sin（2x-\frac{π}{4}）≥\frac{{\sqrt{2}}}{2}$…（5分）
∴$\frac{π}{4}+2kπ≤2x-\frac{π}{4}≤\frac{3π}{4}+2kπ，k∈Z$．
故x的取值集合为$\left\{{x|\frac{π}{4}+kπ≤x≤\frac{π}{2}+kπ，k∈Z}\right\}$．…（7分）
（ III）∵$x∈[{\frac{π}{6}，\frac{π}{3}}]$，∴$\frac{π}{12}≤2x-\frac{π}{4}≤\frac{5π}{12}$…（8分）
又∵$y=sinx在[{0，\frac{π}{2}}]$上是增函数，∴$sin\frac{π}{12}≤sin（2x-\frac{π}{4}）≤sin\frac{5π}{12}$…（9分）
又$sin\frac{5π}{12}=sin（\frac{π}{6}+\frac{π}{4}）=\frac{{\sqrt{6}+\sqrt{2}}}{4}$，
∴$f（x）在x∈[{\frac{π}{6}，\frac{π}{3}}]$时的最大值是$f{（x）_{max}}=\frac{{\sqrt{2}}}{2}×\frac{{\sqrt{6}+\sqrt{2}}}{4}+\frac{1}{2}=\frac{{\sqrt{3}+3}}{4}$…（10分）
∵f（x）-m＜2恒成立，
∴m＞f（x）_max-2，即$m＞\frac{{\sqrt{3}-5}}{4}$…（11分）
∴实数m的取值范围是$（\frac{\sqrt{3}-5}{4}，+∞）$．…（12分）

点评 本题考查正弦函数的图象与性质，三角恒等变换中的公式，向量数量积的运算，以及恒成立问题的转化，考查转化思想，数形结合思想，化简、变形能力．