Question

如图：已知四棱锥P-ABCD的底面为直角梯形，AD∥BC，∠BCD=90，PA=PB，PC=PD．
（Ⅰ）证明CD与平面PAD不垂直；
（Ⅱ）证明平面PAB⊥平面ABCD；
（Ⅲ）如果CD=AD+BC，二面角P-BC-A等于60°，求二面角P-CD-A的大小．

Answer 1

分析：（Ⅰ）若CD⊥平面PAD，则CD⊥PD，由PC=PD，得∠PCD=∠PDC＜90°，所以CD与平面PAD不垂直．
（Ⅱ）取AB、CD的中点E、F，连接PE、PF、EF，由PA=PB，PC=PD，得EF为直角梯形的中位线，故EF⊥CD，又PF∩EF=F，所以CD⊥平面PEF，由此能够证明平面PAB⊥平面ABCD．
（Ⅲ）由二面角的定义知∠PFE为二面角P-CD-A的平面角，作EG⊥BC于G，连PG，由三垂线定理得BC⊥PG，故∠PGE为二面角P-BC-A的平面角，由此能求出二面角P-CD-A的大小．

解答：解：（Ⅰ）若CD⊥平面PAD（1分），
则CD⊥PD（2分），
由已知PC=PD，
得∠PCD=∠PDC＜90°，
这与CD⊥PD矛盾，所以CD与平面PAD不垂直．（3分）
（Ⅱ）取AB、CD的中点E、F，连接PE、PF、EF（4分），
由PA=PB，PC=PD，得PE⊥AB，
PF⊥CD（5分）
∴EF为直角梯形的中位线，
∴EF⊥CD，又PF∩EF=F，
∴CD⊥平面PEF，（6分）
由PE?平面PEF，得CD⊥PE，又AB⊥PE且梯形两腰AB、CD必交，
∴PE⊥平面ABCD（7分）
又PE?平面PAB，
∴平面PAB⊥平面ABCD（8分）
（Ⅲ）由（Ⅱ）及二面角的定义知∠PFE为二面角P-CD-A的平面角（9分）
作EG⊥BC于G，连PG，
由三垂线定理得BC⊥PG，
故∠PGE为二面角P-BC-A的平面角（10分）
即∠PGE=60°，
由已知，得EF=

1

2

(AD+BC)=

1

2

CD，
又EG=CF=

1

2

CD．
∴EF=EG，
∴Rt△PEF≌Rt△PEG．（11分）
∴∠PEF=∠PGE=60°，
故二面角P-CD-A的大小为60°．（12分）

点评：本题考查直线与平面不垂直的证明，考查平面与平面垂直的证明，考查二角角大小的求法．解题时要认真审题，仔细解答，注意三垂线定理和等价转化思想的灵活运用．