Question

【题目】如图1，四边形ABCD为直角梯形，AD∥BC，AD⊥AB，AD=1，BC=2，E为CD上一点，F为BE的中点，且DE=1，EC=2，现将梯形沿BE折叠（如图2），使平面BCE⊥ABED．

（1）求证：平面ACE⊥平面BCE；
（2）能否在边AB上找到一点P（端点除外）使平面ACE与平面PCF所成角的余弦值为 ？若存在，试确定点P的位置，若不存在，请说明理由．

Answer 1

【答案】
（1）

证明：在直角梯形ABCD中，作DM⊥BC于M，连接AE，

则CM=2﹣1=1，CD=DE+CE=1+2=3，

则DM=AB=2 ，cosC= ，则

BE= = ，sin∠CDM= ，

则AE= = ，

∴AE2+BE2=AB2，

故AE⊥BE，且折叠后AE与BE位置关系不变

又∵面BCE⊥面ABED，且面BCE∩面ABED=BE，

∴AE⊥面BCE，

∵AE平面ACE，

∴平面ACE⊥平面BCE

（2）

解：∵在△BCE中，BC=CE=2，F为BE的中点

∴CF⊥BE

又∵面BCE⊥面ABED，且面BCE∩面ABED=BE，

∴CF⊥面ABED，

故可以F为坐标原点建立如图所示的空间直角坐标系

则A（ ，﹣ ，0），C（0，0， ），E（0，﹣ ，0），

易求得面ACE的法向量为 =（0，﹣ ，1）

假设在AB上存在一点P使平面ACE与平面PCF，

所成角的余弦值为 ，且 ，（λ∈R），

∵B（0， ，0），

∴ =（﹣ ， ，0），

故 =（﹣ λ， λ，0），

又 =（ ，﹣ ，﹣ ），

∴ =（ （1﹣λ）， （2λ﹣1），﹣ ），

又 =（0，0， ），

设面PCF的法向量为 =（x，y，z），

∴

令x=2λ﹣1得 =（2λ﹣1， （λ﹣1），0）

∴|cos＜ ＞|= = ，

解得

因此存在点P且P为线段AB中点时使得平面ACE与平面PCF所成角的余弦值为 ．

【解析】（1）根据线面垂直的判定定理即可证明AE⊥平面BCE；（2）建立空间坐标系，求出平面的法向量，利用向量法建立方程关系即可得到结论．
【考点精析】本题主要考查了平面与平面垂直的判定的相关知识点，需要掌握一个平面过另一个平面的垂线，则这两个平面垂直才能正确解答此题．