【题目】如图,A,B,C,D四点在同一圆上,BC与AD的延长线交于点E,点F在BA的延长线上.
(1)若 = , =1,求 的值;
(2)若EF2=FAFB,证明:EF∥CD.
【答案】
(1)解:∵A,B,C,D四点共圆,
∴∠ECD=∠EAB,∠EDC=∠B
∴△EDC∽△EBA,可得 = = ,
∴ =( )2,即 =( )2
∴ =
(2)解:证明:∵EF2=FAFB,
∴ = ,
又∵∠EFA=∠BFE,
∴△FAE∽△FEB,可得∠FEA=∠EBF,
又∵A,B,C,D四点共圆,
∴∠EDC=∠EBF,
∴∠FEA=∠EDC,
∴EF∥CD.
【解析】(1)根据圆内接四边形的性质,可得∠ECD=∠EAB,∠EDC=∠B,从而△EDC∽△EBA,所以有 = = ,利用比例的性质可得 =( )2 , 得到 = ;(2)根据题意中的比例中项,可得 = ,结合公共角可得△FAE∽△FEB,所以∠FEA=∠EBF,再由(I)的结论∠EDC=∠EBF,利用等量代换可得∠FEA=∠EDC,内错角相等,所以EF∥CD.
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【题目】某商场在国庆黄金周的促销活动中,对10月1日9时至14时的销售额进行统计,其频率分布直方图如图所示.已知9时至10时的销售额为3万元,则11时至12时的销售额为万元.
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【题目】某公园准备在一圆形水池里设置两个观景喷泉,观景喷泉的示意图如图所示,A,B两点为喷泉,圆心O为AB的中点,其中OA=OB=a米,半径OC=10米,市民可位于水池边缘任意一点C处观赏.
(1)若当∠OBC= 时,sin∠BCO= ,求此时a的值;
(2)设y=CA2+CB2 , 且CA2+CB2≤232.
(i)试将y表示为a的函数,并求出a的取值范围;
(ii)若同时要求市民在水池边缘任意一点C处观赏喷泉时,观赏角度∠ACB的最大值不小于 ,试求A,B两处喷泉间距离的最小值.
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【题目】若正整数N除以正整数m后的余数为n,则记为N≡n(mod m),例如10≡4(mod 6).下面程序框图的算法源于我国古代闻名中外的(中国剩余定理),执行该程序框图,则输出的n等于( )
A.17
B.16
C.15
D.13
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【题目】某茶楼有四类茶饮,假设为顾客准备泡茶工具所需的时间互相独立,且都是整数分钟,经统计以往为100位顾客准备泡茶工具所需的时间(t),结果如下:
类别 | 铁观音 | 龙井 | 金骏眉 | 大红袍 |
顾客数(人) | 20 | 30 | 40 | 10 |
时间t(分钟/人) | 2 | 3 | 4 | 6 |
注:服务员在准备泡茶工具时的间隔时间忽略不计,并将频率视为概率.
(1)求服务员恰好在第6分钟开始准备第三位顾客的泡茶工具的概率;
(2)用X表示至第4分钟末已准备好了工具的顾客人数,求X的分布列及数学期望.
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【题目】(本小题满分16分)
已知数列{an}的前n项和为Sn,且a1=1,Sn=n2an(n∈N*).
(1)试求出S1,S2,S3,S4,并猜想Sn的表达式;
(2)用数学纳法证明你的猜想,并求出an的表达式.
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【题目】△ABC中,a,b,c分别为内角A,B,C的对边,2asin A=(2b+c)sin B+(2c+b)sin C.
且sin B+sin C=1,则△ABC是( )
A. 等腰钝角三角形 B. 等腰直角三角形 C. 钝角三角形 D. 直角三角形
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【题目】如图,⊙O过平行四边形ABCT的三个顶点B,C,T,且与AT相切,交AB的延长线于点D.
(1)求证:AT2=BTAD;
(2)E、F是BC的三等分点,且DE=DF,求∠A.
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