Question

11．已知函数f（x）=2x³-6x-3a|2lnx-x²+1|，（a∈R）．
（1）当a=0时，求函数f（x）的单调区间；
（2）若函数f（x）存在两个极值点，求a的取值范围．

Answer 1

分析 （1）求出函数的导数，解关于导函数的不等式，求出函数的单调区间即可；
（2）令g（x）=2lnx-x²+1，求出g（x）的导数，得到g（x）＜0，去掉绝对值，求出f（x）的导数，通过讨论a的范围，结合函数的单调性求出a的范围即可．

解答 解：（1）当a=0时，f（x）=2x³-6x的定义域为（0，+∞）．
∵f'（x）=6x²-6=6（x+1）（x-1）…（2分）
当x＞1时，f'（x）＞0；当0＜x＜1时，f'（x）＜0．
∴函数f（x）在（0，1）上单调递减，在（1，+∞）上单调递增…（4分）
（2）令g（x）=2lnx-x²+1，$g'（x）=\frac{2}{x}-2x=\frac{2（1+x）（1-x）}{x}$，
当0＜x＜1时，g'（x）＞0；当x＞1时，g'（x）＜0．
∴g（x）在（0，1）上单调递增，在（1，+∞）上单调递减，
∴g（x）≤g（1）=0．
∴f（x）=2x³-6x+3a（2lnx-x²+1），…（6分）
$f'（x）=6{x^2}-6+3a（\frac{2}{x}-2x）=\frac{6（x+1）（x-1）（x-a）}{x}$，…（7分）
当a≤0时，0＜x＜1?f'（x）＜0；x＞1?f'（x）＞0，
则函数f（x）在（0，1）上单调递减，在（1，+∞）上单调递增，
故函数f（x）恰有一个极小值，不符合题意…（8分）
当0＜a＜1时，a＜x＜1?f'（x）＜0，0＜x＜a或x＞1?f'（x）＞0，
故函数f（x）在（0，a）上单调递增，在（a，1）上单调递减，在（1，+∞）上单调递增，
函数f（x）恰有一个极大值一个极小值，符合题意…（9分）
当a=1时，$f'（x）=\frac{{6（x+1）{{（x-1）}^2}}}{x}≥0$，函数f（x）在（0，+∞）上单调递增，
既无极大值也无极小值，不符合题意…（10分）
当a＞1时，1＜x＜a?f'（x）＜0；0＜x＜1或x＞a?f'（x）＞0，
函数f（x）在（0，1）上单调递增，在（1，a）上单调递减，在（a，+∞）上单调递增，
函数f（x）恰有一个极大值一个极小值，符合题意…（11分）
综上所述，a的取值范围是（0，1）∪（1，+∞）…（12分）

点评 本题考查了函数的单调性、最值问题，考查导数的应用以及分类讨论思想，是一道综合题．