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11.已知函数f(x)=2x3-6x-3a|2lnx-x2+1|,(a∈R).
(1)当a=0时,求函数f(x)的单调区间;
(2)若函数f(x)存在两个极值点,求a的取值范围.

分析 (1)求出函数的导数,解关于导函数的不等式,求出函数的单调区间即可;
(2)令g(x)=2lnx-x2+1,求出g(x)的导数,得到g(x)<0,去掉绝对值,求出f(x)的导数,通过讨论a的范围,结合函数的单调性求出a的范围即可.

解答 解:(1)当a=0时,f(x)=2x3-6x的定义域为(0,+∞).
∵f'(x)=6x2-6=6(x+1)(x-1)…(2分)
当x>1时,f'(x)>0;当0<x<1时,f'(x)<0.
∴函数f(x)在(0,1)上单调递减,在(1,+∞)上单调递增…(4分)
(2)令g(x)=2lnx-x2+1,$g'(x)=\frac{2}{x}-2x=\frac{2(1+x)(1-x)}{x}$,
当0<x<1时,g'(x)>0;当x>1时,g'(x)<0.
∴g(x)在(0,1)上单调递增,在(1,+∞)上单调递减,
∴g(x)≤g(1)=0.
∴f(x)=2x3-6x+3a(2lnx-x2+1),…(6分)
$f'(x)=6{x^2}-6+3a(\frac{2}{x}-2x)=\frac{6(x+1)(x-1)(x-a)}{x}$,…(7分)
当a≤0时,0<x<1?f'(x)<0;x>1?f'(x)>0,
则函数f(x)在(0,1)上单调递减,在(1,+∞)上单调递增,
故函数f(x)恰有一个极小值,不符合题意…(8分)
当0<a<1时,a<x<1?f'(x)<0,0<x<a或x>1?f'(x)>0,
故函数f(x)在(0,a)上单调递增,在(a,1)上单调递减,在(1,+∞)上单调递增,
函数f(x)恰有一个极大值一个极小值,符合题意…(9分)
当a=1时,$f'(x)=\frac{{6(x+1){{(x-1)}^2}}}{x}≥0$,函数f(x)在(0,+∞)上单调递增,
既无极大值也无极小值,不符合题意…(10分)
当a>1时,1<x<a?f'(x)<0;0<x<1或x>a?f'(x)>0,
函数f(x)在(0,1)上单调递增,在(1,a)上单调递减,在(a,+∞)上单调递增,
函数f(x)恰有一个极大值一个极小值,符合题意…(11分)
综上所述,a的取值范围是(0,1)∪(1,+∞)…(12分)

点评 本题考查了函数的单调性、最值问题,考查导数的应用以及分类讨论思想,是一道综合题.

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