Question

已知曲线C：y=x²与直线l：x-y+2=0交于两点A（x_A，y_A）和B（x_B，y_B），且x_A＜x_B．记曲线C在点A和点B之间那一段L与线段AB所围成的平面区域（含边界）为D．设点P（s，t）是L上的任一点，且点P与点A和点B均不重合，若点Q是线段AB的中点，试求线段PQ的中点M的轨迹方程．

Answer 1

分析：欲求线段PQ的中点M的轨迹方程，先利用中点M的坐标反表示出P点的坐标，由点P在曲线C上，即求得到中点M的坐标的关系，从而解决问题．

解答：解：联立y=x²与y=x+2得x_A=-1，x_B=2，
则AB中点Q(

1

2

，

5

2

)，
设线段PQ的中点M坐标为（x，y），
则x=

1 2 +s

2

，y=

5 2 +t

2

，
即s=2x-

1

2

，t=2y-

5

2

，又点P在曲线C上，
∴2y-

5

2

=(2x-

1

2

)2化简可得y=2x2-x+

11

8

，
又点P是L上的任一点，且不与点A和点B重合，
则-1＜2x-

1

2

＜2，即-

1

4

＜x＜

5

4

，
∴中点M的轨迹方程为y=2x2-x+

11

8

（-

1

4

＜x＜

5

4

）．

点评：求曲线的轨迹方程是解析几何的基本问题，参数法：求轨迹方程有时很难直接找到动点的横坐标、纵坐标之间的关系，则可借助中间变量（参数），使x，y之间建立起联系，然而再从所求式子中消去参数，得出动点的轨迹方程．