Question

【题目】已知函数 ， ，其中
（1）设函数 ，求函数 的单调区间；
（2）若存在 ，使得 成立，求 的取值范围.

Answer 1

【答案】
（1）解： ，

①当 时，即 时，在 上 ，在 上

所以 在 上单调递减，在 上单调递增；

②当 ，即 时，在 上 ，

所以，函数 在 上单调递增

（2）解：若存在 ，使得 成立，即存在 ，使得 ，即函数 在 上的最小值小于零.

由（1）可知：

①当 ，即 时， ， 的 上单调递减，

所以 的最小值为 ，

由 可得 ，

因为 ，所以 .

②当 ，即 时， 在 上单调递增，

所以 最小值为 ，由 可得 .

③当 ，即 时，可得 的最小值为 ，

因为 ，所以， ，故 ，不合题意

综上可得所求 的范围是

【解析】（1）含参数的函数的单调性研究，通常要对参数的值进行分类讨论。
（2）对于存在性问题与恒成立问题是有区别的，本题转化为函数h(x)在区间[1,e]上的最小值小于零即可。
【考点精析】利用利用导数研究函数的单调性对题目进行判断即可得到答案，需要熟知一般的,函数的单调性与其导数的正负有如下关系： 在某个区间内，(1)如果，那么函数在这个区间单调递增；(2)如果，那么函数在这个区间单调递减．