Question

若点P在曲线C₁：

x2

16

-

y2

9

=1上，点Q在曲线C₂：（x-5）²+y²=1上，点R在曲线C₃：（x+5）²+y²=1上，则|PQ|-|PR|的最大值是

10

．

Answer 1

分析：先由已知条件知道双曲线的两个焦点为两个圆的圆心，再把|PQ|-|PR|的最大值转化为求|PQ|_max-|PR|_min，即可求得结论．

解答：解：曲线C₁：

x2

16

-

y2

9

=1的两个焦点分别是F₁（-5，0）与F₂（5，0），|PF₁|-|PF₂|=8
则这两点正好是两圆（x+5）²+y²=1和（x-5）²+y²=1的圆心，
两圆（x+5）²+y²=4和（x-5）²+y²=1的半径分别是r₁=1，r₂=1，
∴|PQ|_max=|PF₁|+1，|PR|_min=|PF₂|-1，
∴|PQ|-|PR|的最大值=（|PF₁|+1）-（|PF₂|-1）=8+2=10，
故答案为：10

点评：本题主要考查直线与圆锥曲线的综合应用能力，具体涉及到轨迹方程的求法及直线与双曲线的相关知识，解题时要注意合理地进行等价转化．