Question

在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且满足（2a-c）cosB=bcosC
（1）求角B的大小；
（2）设向量

m

=(sinA，cos2A)，

n

=(6，1)，求

m

•

n

的最大值．

Answer 1

分析：（1）利用正弦定理，结合A、B的范围求出求角B的大小；
（2）设向量

m

=(sinA，cos2A)，

n

=(6，1)，直接化简

m

•

n

，通过配方求出表达式，在sinA=1(A=

π

2

)取得的最大值，即可．

解答：解：（1）∵（2a-c）cosB=bcosC，
∴（2sinA-sinC）cosB=sinBcosC，
∴2sinAcosB=sinBcosC+cosBsinC，
∴2sinAcosB=sinA．（3分）
又在△ABC中，A，B∈（0，π），
所以sinA＞0，cosB=

1

2

，则B=

π

3

（6分）
（2）∵

m

•

n

=6sinA+cos2A=-2sin²A+6sinA+1，
∴

m

•

n

=-2(sinA-

3

2

)2+

11

2

．（8分）
又B=

π

3

，所以A∈(0，

2π

3

)，所以sinA∈（0，1]．（10分）
所以当sinA=1(A=

π

2

)时，

m

•

n

的最大值为5．（12分）

点评：本题是基础题，考查正弦定理的应用，向量的数量积，三角函数值的求法，考查计算能力，常考题型．