Question

等腰梯形ABCD的两底分别为AB=10，CD=4，两腰AD=CB=5，动点P由B点沿折线BCDA向A运动，设P点所经过的路程为x，三角形ABP的面积为S
（1）求函数S=f（x）的解析式；
（2）试确定点P的位置，使△ABP的面积S最大．

Answer 1

分析：（1）先作出所需辅助线：过C点作CE⊥AB于E，再分类讨论求出：在当x∈（0，5]时，当x∈（5，9]时，当x∈（9，14]时，函数S=f（x）表达式即可；
（2）分类讨论：当x∈（0，5]时，当x∈（5，9]时，当x∈（9，14]时，分别求出各个区间上的最大值，最后综合即得，△ABP的面积S最大值即可．

解答：解（1）过C点作CE⊥AB于E，
在△BEC中，CE=

52-32

=4，∴sinB=

4

5

．
由题意，当x∈（0，5]时，过P点作PF⊥AB于F，
∴PF=xsinB=

4

5

x，∴S=

1

2

×10×

4

5

x=4x，
当x∈（5，9]时，∴S=

1

2

×10×4=20．
当x∈（9，14]时，AP=14-x，PF=AP•sinA=

4(14-x)

5

，
∴S=

1

2

×10×（14-x）×

4

5

=56-4x．综上可知，
函数S=f（x）=

4x x∈(0，5] 20 x∈(5，9] 56-4x x∈(9，14]

（2）由（1）知，当x∈（0，5]时，f（x）=4x为增函数，
所以，当x=5时，取得最大值20．
当x∈（5，9]时，f（x）=20，最大值为20．当x∈（9，14]时，f（x）=56-4x为减函数，无最大值．
综上可知：当P点在CD上时，△ABP的面积S最大为20．

点评：本小题主要函数模型的选择与应用．解决实际问题通常有四个步骤：（1）阅读理解，认真审题；（2）引进数学符号，建立数学模型；（3）利用数学的方法，得到数学结果；（4）转译成具体问题作出解答，其中关键是建立数学模型．