Question

（2012•自贡三模）对于三次函数f（x）=ax³+bx²+cx+d（a≠0），定义f′（x）是y=f（x）的导函数y=f′（x）的导函数，若方程f′（x）=0有实数解x₀，则称点（x₀，f（x₀））为函数y=f（x）的“拐点”，可以发现，任何三次函数都有“拐点”，任何三次函数都有对称中心，且“拐点”就是对称中心，请你根据这一发现判断下列命题：
①任意三次函数都关于点（-

b

3a

，f（-

b

3a

））对称：
②存在三次函数f′（x）=0有实数解x₀，点（x₀，f（x₀））为函数y=f（x）的对称中心；
③存在三次函数有两个及两个以上的对称中心；
④若函数g（x）=

1

3

x³-

1

2

x²-

5

12

，则，g（

1

2012

）+g（

2

2012

）+g（

3

2012

）+…+g（

2011

2012

）=-105.5．
其中正确命题的序号为

①②④

（把所有正确命题的序号都填上）．

Answer 1

分析：①根据函数f（x）的解析式求出f′（x）和f″（x），令f″（x）=0，求得x的值，由此求得三次函数f（x）=ax³+bx²+cx+d（a≠0）的对称中心；
②③利用三次函数对称中心的定义和性质进行判断；
④由g（x）=

1

3

x3-

1

2

x2-

5

12

的对称中心是（

1

2

，-

1

2

），得g（x）+（g（1-x）=-1，由此能求出g（

1

2012

）+g（

2

2012

）+g（

3

2012

）+…+g（

2011

2012

）．

解答：解：∵f（x）=ax³+bx²+cx+d（a≠0），
∴f′（x）=3ax²+2bx+c，f''（x）=6ax+2b，
∵f″(x)=6a×(-

b

3a

)+2b=0，
∴任意三次函数都关于点（-

b

3a

，f（-

b

3a

））对称，即①正确；
∵任何三次函数都有对称中心，且“拐点”就是对称中心，
∴存在三次函数f′（x）=0有实数解x₀，点（x₀，f（x₀））为y=f（x）的对称中心，即②正确；
任何三次函数都有且只有一个对称中心，故③不正确；
∵g（x）=

1

3

x3-

1

2

x2-

5

12

，
∴g′（x）=x²-x，g''（x）=2x-1，
令g''（x）=2x-1=0，得x=

1

2

，
∵g（

1

2

）=

1

3

×(

1

2

)3-

1

2

×(

1

2

)2-

5

12

=-

1

2

，
∴函数g（x）=

1

3

x3-

1

2

x2-

5

12

的对称中心是（

1

2

，-

1

2

），
∴g（x）+（g（1-x）=-1，
∴g（

1

2012

）+g（

2

2012

）+g（

3

2012

）+…+g（

2011

2012

）=-105.5，故④正确．
故答案为：①②④．

点评：本小题主要考查函数与导数等知识，考查化归与转化的数学思想方法，考查化简计算能力，求函数的值以及函数的对称性的应用，属于难题．