Question

（2013•乌鲁木齐一模）PM2.5是指大气中直径小于或等于2.5微米的颗粒物，也称为可入肺颗粒物．我国PM2.5标准采用世卫组织设定的最宽限值，即PM2.5日均值在35微克/立方米以下空气质量为一级；在35微克/立方米\～75微克/立方米之间空气质量为二级；在75微克/立方米以上空气质量为超标．
某试点城市环保局从该市市区2011年全年每天的PM2.5监测数据中随机的抽取15天的数据作为样本，监测值如茎叶图所示（十位为茎，个位为叶）
（Ⅰ）从这15天的PM2.5日均监测数据中，随机抽出三天，求恰有一天空气质量达到一级的概率；
（Ⅱ）从这15天的数据中任取三天数据，记ξ表示抽到PM2.5监测数据超标的天数，求ξ的分布列；
（Ⅲ）以这15天的PM2.5日均值来估计一年的空气质量情况，则一年（按360天计算）中平均有多少天的空气质量达到一级或二级．

Answer 1

分析：（Ⅰ）从15天的PM2.5日均监测数据中，随机抽出三天，共有

C

3 15

种情况，恰有一天空气质量达到一级，共有

C

1 5

•

C

2 10

种情况，由此可求概率；
（Ⅱ）ξ服从超几何分布：其中N=15，M=5，n=3，ξ的可能值为0，1，2，3，故可得其分布列；
（Ⅲ）一年中每天空气质量达到一级或二级的概率为P=

10

15

=

2

3

，一年中空气质量达到一级或二级的天数为η，则η～B(360，

2

3

)，求出期望，即可得到结论．

解答：解：（Ⅰ）记“从15天的PM2.5日均监测数据中，随机抽出三天，恰有一天空气质量达到一级”为事件A，…（1分）P(A)=

C 1 5 • C 2 10

C 3 15

=

45

91

．…（4分）
（Ⅱ）依据条件，ξ服从超几何分布：其中N=15，M=5，n=3，ξ的可能值为0，1，2，3，其分布列为：P(ξ=k)=

C k 5 C 3-k 10

C 3 15

 (k=0，1，2，3)．…（6分）

ξ	0	1	2	3
P	24 91	45 91	20 91	2 91

…（8分）
（Ⅲ）依题意可知，一年中每天空气质量达到一级或二级的概率为P=

10

15

=

2

3

，
一年中空气质量达到一级或二级的天数为η，则η～B(360，

2

3

)．…（10分）
∴Eη=360×

2

3

=240，∴一年中平均有240天的空气质量达到一级或二级．…（12分）

点评：本题考查等可能事件概率的求法，考查离散型随机变量的分布列，考查利用数学知识解决实际问题，属于中档题．