Question

15．已知关于x的一元二次不等式ax²+x+b＞0的解集为（-∞，-2）∪（1，+∞）．
（Ⅰ）求a和b的值；
（Ⅱ）求不等式ax²-（c+b）x+bc＜0的解集．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由一元二次不等式与对应方程的关系，利用根与系数的关系，即可求出a、b的值；
（Ⅱ）把a、b的值代入化简不等式，讨论c的值，求出对应不等式的解集．

解答 解：（Ⅰ）由题意知-2和1是方程ax²+x+b=0的两个根，
由根与系数的关系，得$\left\{{\begin{array}{l}{-2+1=-\frac{1}{a}}\\{-2•1=\frac{b}{a}}\end{array}}\right.$，
解得$\left\{{\begin{array}{l}{a=1}\\{b=-2}\end{array}}\right.$；…（4分）
（Ⅱ）由a=1、b=-2，不等式可化为x²-（c-2）x-2c＜0，
即（x+2）（x-c）＜0；…（6分）
则该不等式对应方程的实数根为-2和c；
所以，①当c=-2时，不等式为（x+2）²＜0，它的解集为∅；…（8分）
②当c＞-2时，不等式的解集为（-2，c）；…（10分）
②当c＜-2时，不等式的解集为（c，-2）．…（12分）

点评 本题考查了一元二次不等式与对应方程的应用问题，也考查了转化法与分类讨论思想的应用问题，是基础题目．