Question

将一颗骰子抛掷两次，所得向上点数分别为m，n，则函数y=

2

3

mx³-nx+1在[

2

2

，+∞）上为增函数的概率是（　　）

• A、

  1

  2

• B、

  5

  12

• C、

  7

  12

• D、

  2

  3

Answer 1

考点：利用导数研究函数的单调性,古典概型及其概率计算公式

专题：综合题,导数的综合应用,概率与统计

分析：将一骰子向上抛掷两次，所得点数分别为m和n的基本事件个数有36个．函数y=

2

3

mx³-nx+1在[

2

2

，+∞）上为增函数包含的基本事件个数为21个，利用古典概型公式即可得到答案．

解答： 函数y=

2

3

mx³-nx+1在[

2

2

，+∞）上为增函数，等价于导数y′=2mx²-n 在[

2

2

，+∞）上大于或等于0恒成立．
而x²≥

n

2m

在[

2

2

，+∞）上恒成立即

n

2m

≤

1

2

，亦即

n

m

≤1恒成立．
∵将一骰子向上抛掷两次，所得点数分别为m和n的基本事件个数为36个，而满足

n

m

≤1包含的（m，n）基本事件个数为21个，
故函数y=

2

3

mx³-nx+1在[1，+∞）上为增函数的概率是

21

36

=

7

12

，
故选C．

点评：本题考查的是概率与函数的综合问题．能利用古典概型的特点分别求出基本事件的总数及所求事件包含的基本事件的个数．同时也能利用导数解决函数的恒成立问题．