【题目】某村庄拟修建一个无盖的圆柱形蓄水池(不计厚度).设该蓄水池的底面半径为r米,高为h米,体积为V立方米.假设建造成本仅与表面积有关,侧面积的建造成本为100元/平方米,底面的建造成本为160元/平方米,该蓄水池的总建造成本为12000π元(π为圆周率).
(Ⅰ)将V表示成r的函数V(r),并求该函数的定义域;
(Ⅱ)讨论函数V(r)的单调性,并确定r和h为何值时该蓄水池的体积最大.
【答案】解:(Ⅰ)∵蓄水池的侧面积的建造成本为200πrh元, 底面积成本为160πr2元,
∴蓄水池的总建造成本为200πrh+160πr2元
即200πrh+160πr2=12000π
∴h= (300﹣4r2)
∴V(r)=πr2h=πr2 (300﹣4r2)= (300r﹣4r3)
又由r>0,h>0可得0<r<5
故函数V(r)的定义域为(0,5 )
(Ⅱ)由(Ⅰ)中V(r)= (300r﹣4r3),(0<r<5 )
可得V′(r)= (300﹣12r2),(0<r<5 )
∵令V′(r)= (300﹣12r2)=0,则r=5
∴当r∈(0,5)时,V′(r)>0,函数V(r)为增函数
当r∈(5,5 )时,V′(r)<0,函数V(r)为减函数
且当r=5,h=8时该蓄水池的体积最大
【解析】(I)由已知中侧面积和底面积的单位建造成本,结合圆柱体的侧面积及底面积公式,根据该蓄水池的总建造成本为12000π元,构造方程整理后,可将V表示成r的函数,进而根据实际中半径与高为正数,得到函数的定义域;(Ⅱ)根据(I)中函数的定义值及解析式,利用导数法,可确定函数的单调性,根据单调性,可得函数的最大值点.
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【题目】已知点p(x,y)是直线kx+y+4=0(k>0)上一动点,PA、PB是圆C:x2+y2﹣2y=0的两条切线,A、B是切点,若四边形PACB的最小面积是2,则k的值为 .
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【题目】已知cos(π+α)= ,且 <α<π.
(Ⅰ)求5sin(α+π)﹣4tan(3π﹣α)的值
(Ⅱ)若0<β< ,cos(β﹣α)= ,求sin( +2β)的值.
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【题目】已知f(x)=(logmx)2+2logmx﹣3(m>0,且m≠1).
(Ⅰ)当m=2时,解不等式f(x)<0;
(Ⅱ)f(x)<0在[2,4]恒成立,求实数m的取值范围.
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【题目】已知集合M={1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12},以下命题正确的序号是 .
①如果函数f(x)=x(x﹣a1)(x﹣a2)…(x﹣a7),其中ai∈M(i=1,2,3,…,7),那么f′(0)的最大值为127 .
②数列{an}满足首项a1=2,ak+12﹣ak2=2,k∈N* , 当n∈M且n最大时,数列{an}有2048个.
③数列{an}(n=1,2,3,…,8)满足a1=5,a8=7,|ak+1﹣ak|=2,k∈N* , 如果数列{an}中的每一项都是集合M的元素,则符合这些条件的不同数列{an}一共有33个.
④已知直线amx+any+ak=0,其中am , an , ak∈M,而且am<an<ak , 则一共可以得到不同的直线196条.
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